Моделирование динамики температурного поля в нестационарном приближении при выращивании монокристаллов методом Чохральского
DOI:
https://doi.org/10.7242/1999-6691/2025.18.2.17Ключевые слова:
метод Чохральского, задача с движущимися границами, математическое моделирование, консервативная разностная схемаАннотация
Рассматривается нестационарный осесимметричный процесс выращивания монокристаллов методом Чохральского с жидкостной герметизацией расплава. Математическая модель учитывает теплоперенос в системе тигель-кристалл-расплав-флюс, образование мениска у боковой поверхности кристалла, движение фронта кристаллизации, изменение радиуса кристалла. Для решения указанной задачи разработан новый вычислительный алгоритм, позволяющий определять форму боковой поверхности кристалла в ходе процесса. В основе предложенного численного подхода лежит геометрически консервативная разностная схема, гарантирующая выполнение законов сохранения массы и внутренней энергии. Для решения сеточных уравнений используется алгоритм расщепления по физическим процессам, который обеспечивает согласованный с законами сохранения расчет изменения положения фронта кристаллизации, боковой границы кристалла и мениска и позволяет исследовать длительные технологические режимы. Показано, что если на протяжении всего процесса температура нагревателя постоянна, то радиус кристалла уменьшается. Для изучения влияния внешнего температурного поля на форму боковой поверхности математическая модель процесса дополняется уравнением пропорционально-интегрального регулятора, связывающим изменение температуры нагревателя и радиус растущего кристалла. В общем случае применение управления такого вида приводит к тому, что радиус кристалла в ходе процесса колеблется в окрестности заданного значения; при этом частота и амплитуда его колебаний с течением времени увеличиваются. На основе результатов численных экспериментов находятся значения параметров пропорционально-интегрального регулятора, обеспечивающие рост кристалла практически постоянного радиуса. Данные нестационарных расчетов сопоставляются с данными, полученными в рамках квазистационарной модели процесса кристаллизации.
Скачивания
Библиографические ссылки
Любимова Т.П., Паршакова Я.Н. Влияние вращательных вибраций на течения и тепломассобмен при выращивании кристаллов германия вертикальным методом Бриджмена // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. Т. 1, № 1. C. 57–67. DOI: 10.7242/1999-6691/2008.1.1.6
Любимова Т.П., Файзрахманова И.С. Численное моделирование влияния мгнитного поля на процесс выращивания кристаллов вертикальным методом Бриджмена // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. Т. 1, № 3. C. 85–95. DOI: 10.7242/1999-6691/2008.1.3.30
Любимова Т.П., Скуридин Р.В. Управление термо- и концентрационно- капиллярными течениями при выращивании кристаллов методом жидкой зоны в условиях высокочастотного вибрационого воздействия // Вычислительная механика сплошных сред. 2016. Т. 9, № 1. C. 109–120. DOI: 10.7242/1999-6691/2016.9.1.10
Верезуб Н.А., Простомолотов А.И. Гидромеханика при выращивании кристаллов из водно–солевых растворов // Вычислительная механика сплошных сред. 2022. Т. 15, № 1. C. 98–114. DOI: 10.7242/1999-6691/2022.15.1.8
Smirnova O.V., Kalaev V.V. 3D unsteady numerical analysis of conjugate heat transport and turbulent/laminar flows in LEC growth of GaAs crystals // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2004a. Vol. 47, no. 2. P. 363–371. DOI: 10.1016/S0017-9310(03)00404-6
Fainberg J., Vizman D., Friedrich J., Mueller G. A new hybrid method for the global modeling of convection in CZ crystal growth configurations // Journal of Crystal Growth. 2007a. Vol. 303. P. 124–134. DOI: 10.1016/j.jcrysgro.2006.11.346
Бессонов О.А., Полежаев В.И. Карта режимов и пространственные эффекты конвективных взаимодействий в гидродинамической модели метода Чохральского // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2014. № 2. C. 16–28.
Chen S., Li S., Tan X. 3D Unsteady Simulation of the Transport Characteristics in the LEC Melt of In-Doped GaAs // International Journal of Multimedia and Ubiquitous Engineering. 2016a. Vol. 11. P. 21–30. DOI: 10.14257/ijmue.2016.11.5.03
Faiez R., Najafi F., Rezaei Y. Convection interaction in GaAs/LEC growth model // International Journal of Computational Engineering Research. 2015a. Vol. 5. P. 12–23. URL: https://www.ijceronline.com/papers/Vol5%5C_issue7/C0507012023.pdf
Verezub N., Prostomolotov A. Growth chamber gas dynamics in Cz silicon single crystal growth process // Modern Electronic Materials. 2024a. Vol. 10. P. 185–193. DOI: 10.3897/j.moem.10.3.140627
Cen X., Li Y.S., Zhan J. Three dimensional simulation of melt flow in Czochralski crystal growth with steady magnetic fields // Journal of Crystal Growth. 2012a. Vol. 340. P. 135–141. DOI: 10.1016/j.jcrysgro.2011.11.029
Atia A., Ghernaout B., Bouabdallah S., Bessaïh R. Three-dimensional oscillatory mixed convection in a Czochralski silicon melt under the axial magnetic field // Applied Thermal Engineering. 2016a. Vol. 105. P. 704–715. DOI: 10.1016/j.applthermaleng.2016.03.087
Kondratyev A., Demina S., Smirnov A., Kalaev V., Ratnieks G., Kadinski L., Sattler A. 3D unsteady and steady modeling of heat and mass transfer during Cz Si crystal growth with a horizontal magnetic field // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2021a. Vol. 178. 121604. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2021.121604
Ding J., Li Y., Liu L. Effect of cusp magnetic field on the turbulent melt flow and crystal/melt interface during large-size Czochralski silicon crystal growth // International Journal of Thermal Sciences. 2021a. Vol. 170. 107137. DOI: 10.1016/j.ijthermalsci.2021.107137
Chen S., Liu W., Wen Z., Liu Y., Jiang F., Xue Z., Wei X., Li W. Effects of Induced Current in Crystals on the Melt Flow and the Melt–Crystal Interface during Industrial 300 mm Czochralski Silicon Crystal Growth under a Transverse Magnetic Field // Crystal Growth & Design. 2023a. Vol. 23. P. 4480–4490. DOI: 10.1021/acs.cgd.3c00227
Простомолотов А.И., Верезуб Н.А. Механика процессов получения кристаллических материалов. М.: НИТУ «МИСиС», 2023. 568 с.
Wang Z., Brown R.A. Simulation of almost defect-free silicon crystal growth // Journal of Crystal Growth. 2001a. Vol. 231. P. 442–447. DOI: 10.1016/S0022-0248(01)01433-6
Kumar M.A., Srinivasan M., Ramasamy P. Numerical simulation of thermal stress distributions in Czochralski-grown silicon crystals // AIP Conference Proceedings. 2018a. Vol. 1942. 100004. DOI: 10.1063/1.5028969
Wang Z., Ren Y., Ma W., et al. Crystal surface heat transfer during the growth of 300mm monocrystalline silicon by the Czochralski process // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2025a. Vol. 236. 126259. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2024.126259
Mukaiyama Y., Sueoka K., Maeda S., Iizuka M., Mamedov V.M. Unsteady numerical simulations considering effects of thermal stress and heavy doping on the behavior of intrinsic point defects in large-diameter Si crystal growing by Czochralski method // Journal of Crystal Growth. 2020a. Vol. 532. 125433. DOI: 10.1016/j.jcrysgro.2019.125433
Chatelain M., Albaric M., Pelletier D., Veirman J., Letty E. Numerical method for thermal donors formation simulation during silicon Czochralski growth // Solar Energy Materials and Solar Cells. 2021a. Vol. 219. 110785. DOI: 10.1016/j.solmat.2020.110785
Li Z., Smirnov A. Application of computer modeling to pulling rate and productivity of Czochralski pullers in PV Si crystal growth // Journal of Crystal Growth. 2023a. Vol. 611. 127178. DOI: 10.1016/j.jcrysgro.2023.127178
Tang X., Chappa G.K., Vieira L., Holena M., Dropka N. Decision Tree-Supported Analysis of Gallium Arsenide Growth Using the LEC Method // Crystals. 2023a. Vol. 13. 1659. DOI: 10.3390/cryst13121659
CROWLEY A.B. Mathematical Modelling of Heat Flow in Czochralski Crystal Pulling // IMA Journal of Applied Mathematics. 1983a. Vol. 30. P. 173–189. DOI: 10.1093/imamat/30.2.173
Derby J.J., Brown R.A. On the dynamics of Czochralski crystal growth // Journal of Crystal Growth. 1987a. Vol. 83. P. 137–151. DOI: 10.1016/0022-0248(87)90514-8
Thomas P.D., Derby J.J., Atherton L.J., Brown R.A., Wargo M.J. Dynamics of liquid-encapsulated czochralski growth of gallium arsenide: Comparing model with experiment // Journal of Crystal Growth. 1989a. Vol. 96, no. 1. P. 135–152. DOI: 10.1016/0022-0248(89)90284-4
Van den Bogaert N., Dupret F. Dynamic global simulation of the Czochralski process I. Principles of the method // Journal of Crystal Growth. 1997a. Vol. 171. P. 65–76. DOI: 10.1016/S0022-0248(96)00488-5
Raufeisen A., Breuer M., Botsch T., Delgado A. Transient 3D simulation of Czochralski crystal growth considering diameter variations // Journal of Crystal Growth. 2009a. Vol. 311. P. 695–697. DOI: 10.1016/j.jcrysgro.2008.09.073
Sabanskis A., Bergfelds K., Muiznieks A., Schröck T., Krauze A. Crystal shape 2D modeling for transient CZ silicon crystal growth // Journal of Crystal Growth. 2013a. Vol. 377. P. 9–16. DOI: 10.1016/j.jcrysgro.2013.04.055
Polezhaev V.I., Bessonov O.A., Nikitin N.V., Nikitin S.A. Convective interaction and instabilities in GaAs Czochralski model // Journal of Crystal Growth. 2001a. Vol. 230, no. 1/2. P. 40–47. Proceedings of the Third International Workshop om Modeling in Cr ystal Growth. DOI: 10.1016/S0022-0248(01)01317-3
Li M., Hu W., Chen N., Zeng D., Tang Z. Numerical analysis of LEC growth of GaAs with an axial magnetic field // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2002a. Vol. 45, no. 13. P. 2843–2851. DOI: 10.1016/S0017-9310(01)00355-6
Биберин В.И., Освенский В.Б., Смирнов В.А. Исследование гидродинамики расплава в процессе выращивания арсенида галлия по Чохральскому из-под слоя флюса // Кристаллография. 1985. Т. 30. C. 980–985.
Kakimoto K., Eguchi M., Watanabe H., Hibiya T. Direct observation by X-ray radiography of convection of boric oxide in the GaAs liquid encapsulated czochralski growth // Journal of Crystal Growth. 1989a. Vol. 94, no. 2. P. 405–411. DOI: 10.1016/0022-0248(89)90015-8
Geng X., Wu X.B., Guo Z.Y. Numerical simulation of combined flow in Czochralski crystal growth // Journal of Crystal Growth. 1997a. Vol. 179, no. 1/2. P. 309–319. DOI: 10.1016/S0022-0248(97)00109-7
Hjellming L.N., Walker J.S. Melt motion in a Czochralski crystal puller with an axial magnetic field: motion due to buoyancy and thermocapillarity // Journal of Fluid Mechanics. 1987a. Vol. 182. P. 335–368. DOI: 10.1017/S0022112087002362
Берлинер Л.Б., Гвелесиани Л.А. Численный расчет радиационного теплообмена для направленной кристаллизации CdZnTe // Вестник МИТХТ им. М.В. Ломоносова. 2010. Т. 5, № 5. C. 13–18.
Derby J.J., Brown R.A., Geyling F.T., Jordan A.S., Nikolakopoulou G.A. Finite Element Analysis of a Thermal-Capillary Model for Liquid Encapsulated Czochralski Growth // Journal of The Electrochemical Society. 1985a. Vol. 132, no. 2. P. 470–482. DOI: 10.1149/1.2113867
Surek T., Coriell S.R., Chalmers B. The growth of shaped crystals from the melt // Journal of Crystal Growth. 1980a. Vol. 50. P. 21–32. DOI: 10.1016/0022-0248(80)90227-4
Landau H.G. Heat conduction in a melting solid // Quarterly of Applied Mathematics. 1950a. Vol. 8. P. 81–94. DOI: 10.1090/qam/33441
Vinokur M. Conservation equations of gasdynamics in curvilinear coordinate systems // Journal of Computational Physics. 1974a. Vol. 14. P. 105–125. DOI: 10.1016/0021-9991(74)90008-4
Steger J.L. Implicit Finite-Difference Simulation of Flow about Arbitrary Two-Dimensional Geometries // AIAA Journal. 1978a. Vol. 16, no. 7. P. 679–686. DOI: 10.2514/3.7377
Hurle, D. T. J. Analytical representation of the shape of the meniscus in Czochralski growth // Journal of Crystal Growth. 1983a. Vol. 63, no. 1. P. 13–17. DOI: 10.1016/0022-0248(83)90421-9
Gusev A.O., Shcheritsa O.V., Mazhorova O.S. Conservative finite volume strategy for investigation of solution crystal growth techniques // Computers & fluids. 2020a. Vol. 202. 104501. DOI: 10.1016/j.compfluid.2020.104501
Гусев А.О., Мажорова О.С. Геометрическая консервативность разностных методов решения задачи Стефана на подвижных и фикисрованных сетках // Дифференциальные уравнения. 2024. Т. 60, № 7. C. 911–927. DOI: 10.31857/S0374064124070059
Thomas P.D., Lombard C.K. Geometric Conservation Law and Its Application to Flow Computations on Moving Grids // AIAA Journal. 1979a. Vol. 17. P. 1030–1037. DOI: 10.2514/3.61273
Demirdžić I., Perić M. Space conservation law in finite volume calculations of fluid flow // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1988a. Vol. 8. P. 1037–1050. DOI: 10.1002/fld.1650080906
Гусев А.О., Щерица О.В., Мажорова О.С. О свойствах одного разностного метода решения двухфазной задачи Стефана // Дифференциальные уравнения. 2022. Т. 58, № 7. C. 930–946. DOI: 10.31857/S0374064122070068
Derby J.J., Brown R.A. Thermal-capillary analysis of Czochralski and liquid encapsulated Czochralski crystal growth: I. Simulation // Journal of Crystal Growth. 1986a. Vol. 74, no. 3. P. 605–624. DOI: 10.1016/0022-0248(86)90208-3
Motakef S. Thermoelastic analysis of GaAs in lec growth configuration: II. Temporal evolution of the stress field // Journal of Crystal Growth. 1988a. Vol. 88, no. 3. P. 341–352. DOI: 10.1016/0022-0248(88)90006-1
Bardsley W., Hurle D.T.J., Joyce G.C., Wilson G.C. The weighing method of automatic Czochralski crystal growth: II. Control equipment // Journal of Crystal Growth. 1977a. Vol. 40. P. 21–28. DOI: 10.1016/0022-0248(77)90028-8
Derby J.J., Brown R.A. On the quasi-steady-state assumption in modeling Czochralski crystal growth // Journal of Crystal Growth. 1988a. Vol. 87, no. 2/3. P. 251–260. DOI: 10.1016/0022-0248(88)90172-8
Гусев А.О., Мажорова О.С. Численное моделирование процесса выращивания монокристаллов методом Чохральского в квазистационарном приближении // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2023. № 59. C. 1–20. DOI: 10.20948/prepr-2023-59
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Copyright (c) 2025 Вычислительная механика сплошных сред
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.
