Конечно-элементное моделирование нелинейных задач упругости в абсолютных узловых координатах на неструктурированных шестигранных сетках

Аннотация

Рассматривается конечно-элементная формулировка задачи теории упругости в абсолютных узловых координатах (Absolute Nodal Coordinate Formulation - ANCF), то есть большие перемещения тела описываются в глобальной системе отсчета без использования каких-либо локальных координат. Основной особенностью такого представления является отсутствие гироскопических эффектов и, как следствие, постоянство матрицы масс и вектора обобщенной силы тяжести. В отличие от традиционного ANCF подхода наборы узловых степеней свободы конечного элемента формируются только на основе абсолютных координат узлов. Вследствие этого становится возможным решение задачи, в том числе на неструктурированных шестигранных сетках. Для построения матрицы жесткости применяется алгоритм автоматического дифференцирования второго порядка, гарантированно обеспечивающий ее симметричный вид (матрица Гессе) и обладающий аналитической точностью вычисления производной. Указанный подход позволяет также проводить вычисления для моделей гиперупругих материалов без привлечения соответствующего тензора Пиолы-Кирхгофа. В рамках дискретизации уравнения движения наряду с известной схемой численного интегрирования Ньюмарка показана возможность применения HTT-α схемы, являющейся безусловно устойчивой, второго порядка точности и диссипативной для высоких частот. Рассмотрены примеры решения статических и динамических задач упругости для сжимаемых и несжимаемых моделей гиперупругих материалов, функции плотности внутренней энергии тела которых задаются через градиент деформации.