Некоторые сопряженные диффузионные задачи для трехкомпонентных систем
DOI:
https://doi.org/10.7242/1999-6691/2025.18.4.33Ключевые слова:
многокомпонентная диффузия, неявная разностная схема, концентрации, неидеальный контактАннотация
Диффузия играет важную роль при создании новых композитных материалов, так как она и сопутствующие ей явления участвуют в формировании так называемых переходных слоев. В работе анализируются варианты граничных условий в диффузионных задачах при неидеальном контакте между материалами. Разрыв в концентрациях возможен и при идеальном контакте, что обуславливается различием в подвижностях элементов в разных материалах. Неидеальный контакт приводит в граничных условиях к образованию особенностей, связанных с физическими факторами, а именно с диффузионным сопротивлением на границе. Показано, что в рамках теории термодинамики находит обоснование условие разрыва в концентрациях в виде экспоненциальной зависимости от температуры. Разработан алгоритм численного решения сопряженной диффузионной задачи, базирующийся на покомпонентном разделении уравнений диффузии и неявной разностной схеме второго порядка аппроксимации, что аналогично разделению по физическим процессам. Дискретные аналоги граничных условий также строятся со вторым порядком, поскольку в окрестности границы искомые величины представляются в виде разложений в ряд Тейлора по малым пространственным шагам, отличающимся в областях, состоящих из разных материалов. На решении задачи о перераспределении концентраций в двух сопряженных материалах проиллюстрирована сходимость алгоритма и непротиворечивость получаемых полей концентраций в разные моменты времени. Выбранные для иллюстраций параметры соответствуют термодинамическим ограничениям. Диффузионное сопротивление на границе раздела материалов оказывает влияние на распределение концентраций и скорость установления равновесного распределения. Перекрестные диффузионные коэффициенты не изменяют качественно влияние неидеального контакта на перераспределение концентраций. Подобные задачи и предложенный алгоритм могут быть полезными при моделировании синтеза композиционных материалов, а также в задачах сварки, пайки и нанесения покрытий.
Скачивания
Библиографические ссылки
Гегузин Я.Е. Диффузионная зона. М.: Наука, 1979. 343 с.
Barah O.O., Natukunda F., Bori I., Ukagwu K.J. Mechanisms and modelling of diffusion in solids: a multiscale framework with industrial case studies and AI enhancements // Discover Sustainability. 2025. Vol. 6. P. 804. DOI: 10.1007/s43621-025-01746-0
Mehrer H. Diffusion in Solids: Fundamentals, Methods, Materials, Diffusion-Controlled Processes. Berlin; Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2007. 654 p. . DOI: 10.1007/978-3-540-71488-0
Wei Y., Zhu L., Li Y., Chen Y., Guo B. Formation mechanism and microstructure evolution of Cu/Ti diffusion bonding interface and its influence on joint properties // Vacuum. 2023. Vol. 213. 112167. DOI: 10.1016/j.vacuum.2023.112167
Wei S., Li Y., Zhang R., Chen H., Liang T., Yin W. Microstructure and mechanical properties of Zr-W and Zr-Ta-W interface fabricated by hot isostatic pressing diffusion welding // Journal of Nuclear Materials. 2025. Vol. 606. 155627. DOI: 10.1016/j.jnucmat.2025.155627
Li G., Akbar A., Zhang L.-W., Rosei F., Liew K.M. Surface modification strategy for controlling wettability and ionic diffusion behaviors of calcium silicate hydrate // Applied Surface Science. 2023. Vol. 622. 156993. DOI: 10.1016/j.apsusc.2023.156993
Zhao S., Zhu J., Yang Z., Zhu Y., Sun H., Zhao L. Interface and crystallization evolution induced by reactive nitrogen and oxygen sputtering in Ni/Ti multilayer // Surface and Coatings Technology. 2023. Vol. 472. 129941. DOI: 10.1016/j.surfcoat.2023.129941
Bose S. Oxidation- and Corrosion-Resistant Coatings // High Temperature Coatings / ed. by S. Bose. 2nd ed. Oxford: Elsevier, 2018. P. 97–198. DOI: 10.1016/B978-0-12-804622-7.00006-1
Cui Y., Zhao J., Zhao Y., Shao J. Diffusion of metal ions from a substrate into oxide coatings // Optical Materials Express. 2016. Vol. 6, no. 10. P. 3119–3126. DOI: 10.1364/OME.6.003119
Третьяков Ю.Д. Твердофазные реакции. М.: Химия, 1978. 360 с.
Dybkov V.I. Reaction Diffusion and Solid State Chemical Kinetics. Trans Tech Publications, 2010. 334 p. . DOI: 10.4028/www.scientific.net/MSFo.67-68
Reiss H. Diffusion-Controlled Reactions in Solids // Journal of Applied Physics. 1959. Vol. 30. P. 1141–1152. DOI: 10.1063/1.1735284
Katona G.L., Safonova N.Y., Ganss F., Mitin D., Vladymyrskyi I.A., Sidorenko S.I., Makogon I.N., Beddies G., Albrecht M., Beke D.L. Diffusion and solid state reactions in Fe/Ag/Pt and FePt/Ag thin-film systems // Journal of Physics D: Applied Physics. 2015. Vol. 48. 175001. DOI: 10.1088/0022-3727/48/17/175001
Ding F., Wang Q., Liang C., Zhang Y. Diffusion behavior and microstructural evolution of bonding interface between AuSn20 and tungsten-copper alloy // Soldering & Surface Mount Technology. 2025. Vol. 37, no. 5. P. 333–341. DOI: 10.1108/SSMT-11-2024-0066
Wang Y., Huang Y., Liu W., Chen B., Liu J., Zhang L., Liu W., Ma Y. Investigation of diffusion reaction mechanism between W 20Ta solid solution and Ni // Materials Characterization. 2023. Vol. 200. 112894. DOI: 10.1016/j.matchar.2023.112894
Xu D., Chen P., Fu K., Sang C., Chen R., Hong T., Cheng J., Xu K. Connection reinforcement design of ODS-W/Cu joint: Transforming immiscible interface into dual reaction diffusion interface // Materials Characterization. 2025. Vol. 228. 115402. DOI: 10.1016/j.matchar.2025.115402
Ding Y., Wen D., Wang X., et al. Interface Evolution and Mechanical Properties of Al/Ta Laminated Composites Fabricated by Vacuum-Embedded Diffusion Welding // International Journal of Refractory Metals and Hard Materials. 2025. Vol. 133. 107302. DOI: 10.2139/ssrn.5239598
Ma J., Xu W., Zheng C., Li Y., Feng X., Yang Y. Effect of trace Al and Ti elements on borosilicate glass corrosion resistance of Inconel 690 alloy // Journal of Nuclear Materials. 2025. Vol. 606. 155626. DOI: 10.1016/j.jnucmat.2025.155626
Страумал А.Б., Мазилкин И.А., Цой К.В., Барецки Б., Страумал Б.Б. Фазовые переходы “смачивания” второй твердой фазой на линейных дефектах - тройных стыках границ зерен // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2020. Т. 112, № 4. C. 275–280. DOI: 10.31857/S1234567820160107
Бокштейн Б.С., Ярославцев А.Б. Диффузия атомов и ионов в твердых телах. М.: МИСиС, 2005. 362 с.
Ворошнин Л.Г., Витязь П.А., Насыбулин А.Х., Хусид Б.М. Многокомпонентная диффузия в гетерогенных сплавах. Минск: Вышэйшая школа, 1984. 142 с.
Де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 458 с.
Гуров К.П., Карташкин Б.А., Угасте Ю.Э. Взаимная диффузия в многофазных металлических системах. М.: Наука, 1981. 350 с.
Гуров К.П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов. М.: Наука, 1978. 128 с.
Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. М.: Мир, 1974. 304 с.
Князева А.Г. Перекрестные эффекты в твердых средах с диффузией // Прикладная механика и техническая физика. 2003. Т. 44, № 3. C. 85–99.
Князева А.Г. Диффузия и реология в локально-равновесной термодинамике // Вестник Пермского государственного технического университета. Математическое моделирование систем и процессов. 2005. № 13. C. 45–60.
Князева А.Г. Нелинейные модели деформируемых сред с диффузией // Физическая мезомеханика. 2011. № 6. C. 35–51.
Князева А.Г., Демидов В.Н. Коэффициенты переноса для трехкомпонентного деформируемого сплава // Вестник Пермского государственного технического университета. Механика. 2011. № 3. C. 84–99.
Князева А.Г. Термодинамическое обобщение теории термоупругой диффузии для среды с изменяющейся плотностью // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2025. № 3. C. 101–113. DOI: 10.15593/perm.mech/2025.3.09
Миколайчук М.А., Князева А.Г. Модель диффузии примеси в структурно-неоднородной деформируемой среде // Известия вузов. Физика. 2012. Т. 55, № 5–2. C. 74–80.
Миколайчук М.А., Князева А.Г., Грабовецкая Г.П., Мишин И.П. Изучение влияния механических напряжений на диффузию в пластине с покрытием // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2012. № 3. C. 120–134.
Миколайчук М.А., Князева А.Г. Влияние напряжений и деформаций на перераспределение примеси в пластине в условиях одноосного нагружения // Прикладная механика и техническая физика. 2010. Т. 51, № 3. C. 147–157.
Князева А.Г., Миколайчук М.А. Насыщение пластины примесью из окружающей среды в условиях механического нагружения // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2011. № 5. C. 43–57.
Zhang J., Zhao Q., Zhang L., Wang J., Sun C. Molecular dynamics simulations based on the diffusion interface of solid-phase Ti–Al system // Chemical Physics. 2025. Vol. 597. 112797. DOI: 10.1016/j.chemphys.2025.112797
Fan S., Peng M., Duan Y., Yu Q., Zhou X., Bu H., Li J., Yang Z., Li M. Molecular dynamics simulation of diffusion mechanisms of Al–Mg interface // Physica B: Condensed Matter. 2025. Vol. 715. 417620. DOI: 10.1016/j.physb.2025.417620
Zvyagintseva A.V. Mathematical modeling of hydrogen diffusion in a medium with impurity and structural traps in the conditions of the formation and decomposition of hydrogen-containing complexes // International Journal of Hydrogen Energy. 2025. Vol. 101. P. 112–119. DOI: 10.1016/j.ijhydene.2024.12.047
Акимова Е.Н., Горбачев И.И., Попов В.В. Решение задач многокомпонентной диффузии с помощью параллельного алгоритма матричной прогонки // Математическое моделирование. 2005. Т. 17, № 9. C. 85–92.
Chen L.- Q., Zhao Y. From classical thermodynamics to phase-field method // Progress in Materials Science. 2022. Vol. 124. 100868. DOI: 10.1016/j.pmatsci.2021.100868
Mathew C.C., Song J., Adu-Gyamfi E., Fu Y. Phase field numerical model for simulating the diffusion controlled stress corrosion cracking phenomena in anisotropic material // Computational Materials Science. 2025. Vol. 247. 113528. DOI: 10.1016/j.commatsci.2024.113528
Ngiam Y., Cao Z.H., Huang M.X. Understanding hydrogen embrittlement in press-hardened steel by coupling phase field and hydrogen diffusion modeling // Materials Science and Engineering: A. 2022. Vol. 834. P. 142523. DOI: 10.1016/j.msea.2021.142523
Chen Q., Ma N., Wu K., Wang Y. Quantitative phase field modeling of diffusion-controlled precipitate growth and dissolution in Ti–Al–V // Scripta Materialia. 2004. Vol. 50, no. 4. P. 471–476. DOI: 10.1016/j.scriptamat.2003.10.032
Wu X.- W., Chen M., Ke L.-L. An electro-thermo-mechanical coupling phase-field model of defect evolution induced by electromigration in interconnects // International Journal of Mechanical Sciences. 2025. Vol. 285. 109792. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2024.109792
Jacobsson E., Hallberg H., Hektor J., Ristinmaa M. Modelling diffusive phase transformations in multiphase systems using the Voronoi implicit interface method // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. 2025. Vol. 33. 025006. DOI: 10.1088/1361-651X/ada818
Kainuma R., Ichinose M., Ohnuma I., Ishida K. Formation of γ’/β interface morphologies in Ni–Al–X ternary diffusion couples // Materials Science and Engineering: A. 2001. Vol. 312. P. 168–175. DOI: 10.1016/S0921-5093(00)01873-6
Brechet Y., Kirkaldy J.S. Parabolic periodic solutions of precipitation-modified ternary diffusion equations // Canadian Journal of Physics. 1992. Vol. 70. P. 193–198. DOI: 10.1139/p92-033
Kulkarni K.N. Analytical solution for interdiffusion in multicomponent systems and its application in high entropy alloys // AIP Advances. 2021. Vol. 11. 015116. DOI: 10.1063/5.0032837
Князева А.Г., Савицкий А.П. Оценка объемных изменений в диффузионной зоне. I. Изотермическое взаимодействие двух полубесконечных сред // Известия вузов. Физика. 1997. № 5. C. 19–27.
Князева А.Г., Савицкий А.П. Оценка объемных изменений в диффузионной зоне. II. Взаимодействие компонентов двух конечных сред // Известия вузов. Физика. 1997. № 6. C. 48–56.
Mohanty R.R., Sohn Y. Phase-field investigation of multicomponent diffusion in single-phase and two-phase diffusion couples // Journal of Phase Equilibria and Diffusion. 2006. Vol. 27, no. 6. P. 676–683. DOI: 10.1007/BF02736572
Morino T., Ode M., Hirosawa S. Direct CALPHAD coupling phase-field model: Closed-form expression for interface composition satisfying equal diffusion potential condition // Physical Review E. 2024. Vol. 109. 065303. DOI: 10.1103/PhysRevE.109.065303
Князева А.Г. Некоторые диффузионные задачи, возникающие при анализе свойств покрытий // Физическая мезомеханика. 2001. Т. 4, № 1. C. 49–65.
Бутов В.Г., Губарьков Д.В., Князева А.Г. Распределение концентрации диффундирующего элемента в трехслойной системе и оценка коэффициента диффузии на основе решения обратной задачи // Физическая мезомеханика. 2000. Т. 3, № 6. C. 105–112.
Князева А.Г., Романова В.А., Поболь И.Л. Неоднородное поле напряжений в диффузионной зоне соединения, получаемого электронно-лучевой пайкой // Физическая мезомеханика. 2001. Т. 4, № 5. C. 41–53.
Князева А.Г., Анисимова М.А., Коростелева Е.Н. Особенности диффузионно-контролируемых процессов управляемого объемного синтеза из порошковых смесей Ti-Al-Fe-Fe2O2 // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2022. № 3. C. 125–134. DOI: 10.15593/perm.mech/2022.3.13
Князева А.Г., Поболь И.Л., Олешук И.Г. Перераспределение легирующих элементов между соединяемыми материалами в условиях изотермической пайки и сопутствующие механические напряжения // Известия вузов. Физика. 2013. Т. 56, № 7–2. C. 14–24.
Вендин С.В. К решению задач нестационарной диффузии в слоистых средах // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. 2019. № 3. C. 100–105. DOI: 10.34031/article_5ca1f6340f3497.49776836
Попов В.М. Теплообмен в зоне контакта неразъемных соединений. М.: Энергия, 1971. 216 с.
Zhang H., Huang D., Zhang Y. A peridynamic thermal contact model for heat conduction analysis of thermally imperfect interface and conductive crack // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2025. Vol. 241. 126763. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2025.126763
Ding W., Xue T., Zhang X. A thermal-mechanical coupling modeling with imperfect interfaces: Transition from ballistic to diffusive heat transfer // Applied Mathematical Modelling. 2026. Vol. 150. 116361. DOI: 10.1016/j.apm.2025.116361
Wang J., Xue T., Zhang X. Time fractional-integer hybrid modeling for anomalous thermal contact problems // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2025. Vol. 251. 127338. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2025.127338
Zheng H., Zhang L., Dong Q., Sun G. Prediction of the effective diffusion coefficient on sulfate ions in heterogeneous concrete based on Mori-Tanaka scheme // Construction and Building Materials. 2024. Vol. 449. 138326. DOI: 10.1016/j.conbuildmat.2024.138326
Wang R., Wang P., Bhatt S., et al. Phase-field modeling of diffusion bonding in 316H stainless steel: Impact of processing conditions on grain morphology and bonding quality // Materials Science and Engineering: A. 2025. Vol. 945. 149051. DOI: 10.1016/j.msea.2025.149051
Анисимова М.А., Князева А.Г., Коростелева Е.Н., Повернов С.Е. Особенности спекания порошковых составов CuO-Al и TiO2-Al в условиях регулируемого нагрева // Химическая физика и мезоскопия. 2024. Т. 26, № 4. C. 457–470. DOI: 10.62669/17270227.2024.4.38
Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 288 с.
Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.
Лариков Л.Н., Исайчев В.И. Структура и свойства металлов и сплавов. Диффузия в металлах и сплавах. Киев: Наукова думка, 1987. 512 с.
Toor H.L. Solution of the linearized equations of multicomponent mass transfer: I // AIChE Journal. 1964. Vol. 10, no. 4. P. 448–455. DOI: 10.1002/aic.690100408
Вольперт А.И., Посвянский В.С. О положительности решения уравнений многокомпонентной диффузии и химической кинетики // Химическая физика. 1984. Т. 3, № 8. C. 1200–1205.
Wojewoda I., Lopez G.A., Zieba P., Mittemeijer E.I. Diffusion processes in diffusion-soldered interconnections // Archives of Metallurgy and Materials. 2004. Vol. 49, no. 2. P. 277–291.
Mincheva M., Siegel D. Nonnegativity and positiveness of solutions to mass action reaction–diffusion systems // Journal of Mathematical Chemistry. 2007. Vol. 42. P. 1135–1145. DOI: 10.1007/s10910-007-9292-0
Rios W.Q., Antunes B., Rodrigues A.E., Portugal I., Silva C.M. Accurate Effective Diffusivities in Multicomponent Systems // Processes. 2022. Vol. 10. 2042. DOI: 10.3390/pr10102042
Chen Q., Engström A., Ågren J. On Negative Diagonal Elements in the Diffusion Coefficient Matrix of Multicomponent Systems // Journal of Phase Equilibria and Diffusion. 2018. Vol. 39. P. 592–596. DOI: 10.1007/s11669-018-0648-x
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Copyright (c) 2026 Вычислительная механика сплошных сред
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.
