Воздействие нестационарного давления на тонкую сферическую оболочку с упругим заполнителем

Аннотация

Решена нестационарная задача для тонкой упругой сферической оболочки, заполненной упругой средой, при воздействии на нее внешнего давления. Для описания движения оболочки использованы уравнения модели С.П. Тимошенко, а для заполнителя - уравнения теории упругости, записанные в потенциалах упругих смещений согласно представлению Кельвина. Предполагается, что контакт между оболочкой и заполнителем происходит в условиях свободного проскальзывания. На основании принципа суперпозиции получено разрешающее задачу интегральное соотношение, связывающее нормальные перемещения заполненной оболочки с внешним давлением. Ядром этого соотношения служит функция влияния, которая представляет собой нормальные перемещения оболочки с заполнителем, являющиеся решением задачи при воздействии на оболочку мгновенного сосредоточенного внешнего давления и математически выражаемого посредством дельта-функций Дирака. Для построения функции влияния используется аппарат разложений в ряды Фурье по собственным функциям задач для оболочки и заполнителя. Выполнение неполного разделения переменных приводит к системе уравнений, которая содержит подсистему обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов рядов разложений перемещений оболочки, а также подсистему уравнений в частных производных для коэффициентов рядов, в которые раскладываются потенциалы упругих смещений в заполнителе. Связь этих подсистем осуществляется через условия контакта между оболочкой и заполнителем. Для определения коэффициентов рядов разложений применяется интегральное преобразование Лапласа по времени. В итоге задачи сводятся к решению системы алгебраических уравнений для оболочки и системы обыкновенных дифференциальных уравнений для заполнителя. Решения последних с учетом условий на границе контакта и записи модифицированной функции Бесселя первого рода через элементарные функции приводит к выражениям для изображений коэффициентов разложения искомой функции влияния в ряд. Получение оригиналов коэффициентов осуществляется аналитически путем разложения в ряды по экспонентам. Найденная функция влияния и построенное разрешающее интегральное соотношение используются далее для решения некоторых тестовых задач. При этом соответствующие интегралы вычисляются аналитически. Представлены графические результаты расчетов с оценкой сходимости в зависимости от количества удерживаемых членов ряда в разложении функции влияния.