Метод конечных элементов в расчетах на изгиб микрополярных упругих тонких пластин

Аннотация

В статье сжато излагается общая прикладная микрополярная теория изгибной деформации упругих тонких пластин, находящихся в условиях поперечных сдвиговых деформаций. Теория приводится в двух равносильных формулировках - дифференциальной и вариационной; из используемого вариационного принципа следуют дифференциальные уравнения равновесия, соотношения упругости, геометрические соотношения и естественные граничные условия изгиба. Микрополярная (моментная) теория изгибной деформации для пластин была получена на основе метода гипотез из соответствующей трехмерной теории, адекватно описывающей свойства асимптотического решения в случае тонкой пластинки. Также приводятся основные положения метода конечных элементов при его применении для расчета граничных задач микрополярных упругих тонких пластин, находящихся в условиях изгибной деформации. Для такого класса задач разработаны эффективные четырехугольные конечные элементы. С помощью вариационного принципа Лагранжа, записанного для микрополярных пластин, определяются жесткостные характеристики конечного элемента и, исходя из построенной матрицы жесткостей, выполняется процедура формирования разрешающей системы линейных алгебраических уравнений. Рассматривается конкретная задача изгиба квадратной микрополярной упругой пластинки под действием равномерно распределенной силовой нагрузки, когда края пластинки шарнирно оперты. Изучается конкретная пластинка в рамках микрополярной упругости. Численная реализация решения системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов осуществлена на персональном компьютере. Для сопоставления тоже численно рассчитаны характеристики для соответствующей классической упругой пластинки (с учетом деформации поперечного сдвига) при остальных равных значениях параметров задачи. Анализ результатов показывает эффективность микрополярного подхода по сравнению с классическим при описании жесткости и прочности пластинки.