Исследование спектральной устойчивости обобщенных методов Рунге-Кутты применительно к численному интегрированию начальной задачи для уравнения переноса

Аннотация

На основе метода гармоник аналитически исследована спектральная устойчивость обобщенных методов Рунге-Кутты первого и второго порядков точности по временнόму шагу применительно к численному интегрированию начальной задачи для уравнения переноса. Показано, что некоторые классические явные и неявные конечно-разностные схемы интегрирования начально-краевой задачи для уравнения переноса являются следствием последовательного использования обобщенных и обычных методов Рунге-Кутты по всем независимым переменным. Разработан общий алгоритм изучения спектральной устойчивости обобщенных многостадийных методов Рунге-Кутты разных порядков точности при интегрировании уравнения переноса. Рассмотрена спектральная устойчивость различных явных и неявных обобщенных методов Рунге-Кутты. Выявлено, что все явные методы спектрально неустойчивы, а все неявные методы спектрально устойчивы, причем неявные методы, основанные на формулах Радо, Лобатто IIIC, Нёрсетта и Барриджа, обладают асимптотической устойчивостью, а методы Гаусса-Лежандра, Лобатто IIIA, Лобатто IIIB всех порядков точности, хотя и спектрально устойчивы, не обладают свойством асимптотической устойчивости. Проведено сравнение приближенных решений, полученных на базе разных обобщенных методов Рунге-Кутты, с точным решением при сложно осциллирующих начальных условиях с большими по модулю производными, условно моделирующих ударное воздействие. Показано, что лучшими при этом являются численные результаты, найденные по формулам Радо высоких порядков точности. Намечены пути применения предложенного подхода к исследованию спектральной устойчивости обобщенных методов Рунге-Кутты при их использовании для численного интегрирования систем уравнений первого порядка гиперболического типа как в одномерном, так и в многомерном случаях.