Об одном решении задачи резонансных колебаний каната грузоподъемной установки с учетом его проскальзывания при навивке по поверхности барабана

Аннотация

В работе предлагается математическая модель и методы анализа неклассической задачи о продольных колебаниях каната, который, начиная с верхнего конца, наматывается на барабан, а на его нижнем конце закреплен груз. Учет проскальзывания каната по поверхности барабана позволяет адекватно описать реальные динамические процессы в системе. Формулировка задачи о колебаниях, как задачи с движущимися границами, в виде дифференциального уравнения с неинтегрируемыми граничными условиями обеспечивает неклассическое обобщение задачи гиперболического типа. Проведение линеаризации граничных условий методом усредненных оценок упрощает исходную постановку. Построение эквивалентных интегро-дифференциальных уравнений с симметричными и зависящими от времени ядрами, а также изменяющимися во времени пределами интегрирования создает основу для применения аппарата интегральных уравнений. Рассмотрение случаев как с учетом, так и без учета проскальзывания делает возможным осуществление комплексного анализа динамических характеристик системы. Приведение интегро-дифференциального уравнения к безразмерному виду посредством введения новых переменных унифицирует математическую модель. Решение полученного интегро-дифференциального уравнения без учета проскальзывания с помощью комбинации приближенного метода построения решений интегро-дифференциальных уравнений и метода Канторовича-Галеркина демонстрирует приемлемую точность расчетов. Выражение для амплитуды колебаний, соответствующих n-й динамической моде, полученное асимптотическим методом, является аналитической базой для оценки резонансных свойств. Исследование явления установившегося резонанса и прохождения через резонанс системы с использованием численных методов и авторского программного комплекса представляет практическую ценность для динамического расчета грузоподъемных устройств с целью повышения их надежности.