Поведение гибкой сетчатой пластины, находящейся в электростатическом поле
DOI:
https://doi.org/10.7242/1999-6691/2023.16.3.33Ключевые слова:
углеродная нанопластина, сетчатая пластина, модифицированная моментная теория, электростатика, нелинейные колебания, собственные частоты колебанийАннотация
Объектом исследования является гибкая пластина сетчатой структуры с защемленными краями. На некотором расстоянии от пластины параллельно ей расположен неподвижный электрод. За счет внешнего источника между пластиной и электродом создается электрическое поле с заданной разностью потенциалов. Пластина притягивается (прогибается) в нормальном к электроду направлении и при достижении баланса между электрическими силами (силой Кулона) и силами упругости приходит в равновесное состояние. При увеличении разности потенциалов пластина перемещается в новое равновесное положение. Уравнения состояния элемента геометрически нелинейной пластины и граничные условия получены в рамках гипотез Кирхгофа из вариационного принципа Остроградского–Гамильтона. Рассматривается изотропный однородный материал. Масштабные эффекты приняты во внимание посредством применения модифицированной моментной теории упругости. При этом предполагается, что поля перемещений и вращений не являются независимыми. Геометрическая нелинейность учтена согласно теории Кармана. Сетчатая структура пластины моделировалась в рамках континуальной теории Г.И. Пшеничного, что позволило заменить регулярную систему ребер сплошным слоем. Исходя из условий равновесия прямоугольного элемента записаны соотношения, связывающие механические напряжения в эквивалентной гладкой пластине и в ребрах пластины сетчатой структуры. Для определения физических соотношений сетчатой пластины использован метод множителей Лагранжа. Для численного решения системы дифференциальных уравнений, описывающих нелинейные колебания сетчатой пластины, применен метод Бубнова–Галеркина. Математическая модель, алгоритм решения и программный комплекс верифицированы путем сравнения авторских результатов расчета с данными натурного эксперимента и результатами других авторов. Исследовано влияние геометрии сетчатой структуры пластины, величины постоянного электрического напряжения, геометрической нелинейности на частоту собственных колебаний жестко защемленной пластины. Численные результаты приведены для пластины из графена.
Скачивания
Библиографические ссылки
Zaporotskova I.V., Boroznina N.P., Parkhomenko Y.N., Kozhitov L.V. Carbon nanotubes: Sensor properties. A review // Mod. Electron. Mater. 2016. Vol. 2. P. 95-105. https://doi.org/10.1016/j.moem.2017.02.002
Meyyappan M. Carbon nanotube-based chemical sensor // Small. 2016. Vol. 12. P. 2118-2129. https://doi.org/10.1002/smll.201502555
Ionete E.I., Spiridon S.-I., Monea B.F., Ebrasu-Ion D., Vaseashta A. SWCNT-Pt-P2O5-based sensor for humidity measurements // IEEE Sensor J. 2016. Vol. 16. P. 7593-7599. https://doi.org/10.1109/JSEN.2016.2603478
Ionete E.I., Spiridon S.-I., Monea B.F., Stratulat E. A room temperature gas sensor based on sulfonated SWCNTs for the detection of NO and NO2 // Sensors. 2019. Vol. 19. 1116. https://doi.org/10.3390/s19051116
Sinha N., Ma J., Yeow J.T.W. Carbon nanotube-based sensors // JNN. 2006. Vol. 6. P. 573-590. https://doi.org/10.1166/jnn.2006.121
Yu C., Liu Q., He Z., Gao X., Wu E., Guo J., Zhou C., Feng Z. Epitaxial graphene gas sensors on SiC substrate with high sensitivity // J. Semicond. 2020. Vol. 41. 032101. https://doi.org/10.1088/1674-4926/41/3/032101
Dong Q., Xiao M., Li G., Zhang Y. Recent progress of toxic gas sensors based on 3d graphene frameworks // Sensors. 2021. Vol. 21. 3386. https://doi.org/10.3390/s21103386
Wei L., Kuai X., Bao Y., Wei J., Yang L., Song P., Zhang M., Yang F., Wang X. The recent progress of MEMS/NEMS resonators // Micromachines. 2021. Vol. 12. 724. https://doi.org/10.3390/mi12060724
Geim A.K., Novoselov K.S. The rise of graphen // Nature Mater. 2007. Vol. 6. P. 183-191. https://doi.org/10.1038/nmat1849
Bernholc J., Brenner D., Buongiorno Nardelli M., Meunier V., Roland C. Mechanical and electrical properties of nanotubes // Annu. Rev. Mater. Res. 2002. Vol. 32. P. 347-375. https://doi.org/10.1146/annurev.matsci.32.112601.134925
Fukuda T., Arai F., Dong L. Assembly of nanodevices with carbon nanotubes through nanorobotic manipulations // Proc. IEEE. 2003. Vol. 91. P. 1803-1818. https://doi.org/10.1109/JPROC.2003.818334
De Volder M.F.L., Tawfick S.H., Baughman R.H., Hart A.J. Carbon nanotubes: Present and future commercial applications // Science. 2013. Vol. 339. P. 535-539. https://doi.org/10.1126/science.1222453
Verbiest G.J., Kirchhof J.N., Sonntag J., Goldsche M., Khodkov T., Stampfer C. Detecting ultrasound vibrations with graphene resonators // Nano Lett. 2018. Vol. 18. P. 5132-5137. https://doi.org/10.1021/acs.nanolett.8b02036
Monea B.F., Ionete E.I., Spiridon S.I., Ion-Ebrasu D., Petre E. Carbon nanotubes and carbon nanotube structures used for temperature measurement // Sensors. 2019. Vol. 19. 2464. https://doi.org/10.3390/s19112464
Lam D.C.C., Yang F., Chong A.C.M., Wang J., Tong P. Experiments and theory in strain gradient elasticity // J. Mech. Phys. Solid. 2003. Vol. 51. P. 1477-1508. https://doi.org/10.1016/S0022-5096(03)00053-X
Chong A.C.M., Yang F., Lam D.C.C., Tong P. Torsion and bending of micron-scaled structures // J. Mater. Res. 2001. Vol. 16. P. 1052-1058. https://doi.org/10.1557/JMR.2001.0146
Stolken J.S., Evans A.G. A microbend test method for measuring the plasticity length scale // Acta Mater. 1998. Vol. 46. P. 5109-5115. https://doi.org/10.1016/S1359-6454(98)00153-0
Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Paris: A. Herman Sons, 1909. 250 p.
Mindlin R.D., Tiersten H.F. Effects of couple-stresses in linear elasticity // Arch. Ration. Mech. Anal. 1962. Vol. 11. P. 415 448.
Toupin R.A. Elastic materials with couple-stresses // Arch. Ration. Mech. Anal. 1962. Vol. 11. P. 385-414.
Koiter W.T. Couples-stress in the theory of elasticity // Proc. K. Ned. Akad. Wet. 1964. Vol. 67. P. 17-44.
Eringen A.C. Linear theory of nonlocal elasticity and dispersion of plane waves // Int. J. Eng. Sci. 1972. Vol. 10. P. 425-435.
Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих оболочек. М.: Наука, 2008. 286 с.
Altenbach H., Eremeyev V.A. On the linear theory of micropolar plates // ZAMM. 2009. Vol. 89. P. 242-256. https://doi.org/10.1002/zamm.200800207
Nuhu A.A., Safaei B. A comprehensive review on the vibration analyses of small-scaled plate-based structures by utilizing the nonclassical continuum elasticity theories // Thin-Walled Structures. 2022. Vol. 179. 109622. https://doi.org/10.1016/j.tws.2022.109622
Mozhgova N., Lukin A., Popov I. Model of a micromechanical modal-localized accelerometer with an initially curvedmicrobeam as a sensitive element // Microactuators, Microsensors and Micromechanisms / Ed. A.K. Pandey, P. Pal, Nagahanumaiah, L. Zentner. Springer Cham, 2022. P. 94-118. https://doi.org/10.1007/978-3-031-20353-4_7
Morozov N.F., Indeitsev D.A., Igumnova V.S., Lukin A.V., Popov I.A., Shtukin L.V. Nonlinear dynamics of mode-localized MEMS accelerometer with two electrostatically coupled microbeam sensing elements // Int. J. Non Lin. Mech. 2022. Vol. 138. 103852. https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2021.103852
Ilyas S., Younis M.I. Theoretical and experimental investigation of mode localization in electrostatically and mechanically coupled microbeam resonators // Int. J. Non Lin. Mech. 2020. Vol. 125. 103516. https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2020.103516
Indeitsev D.A., Igumnova V.S., Lukin A.V., Popov I.A., Shtukin L.V., Belyaev Ya.V. Differential resonant MEMS accelerometer: Synchronization characteristics of weakly coupled microbeam sensing elements. http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.36579.84004
Karimipour I., Beni Y.T., Akbarzadeh A.H. Size-dependent nonlinear forced vibration and dynamic stability of electrically actuated micro-plates // Comm. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2019. Vol. 78. 104856. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2019.104856
Karimipour I., Tadi Beni Y., Zeighampour H. Vibration and dynamic behavior of electrostatic size-dependent micro-plates // J. Braz. Soc. Mech. Sci. Eng. 2020. Vol. 42. P. 1-22. https://doi.org/10.1007/s40430-020-02490-4
Karami M., Kazemi A., Vatankhah R., Khosravifard A. Adaptive fractional-order backstepping sliding mode controller design for an electrostatically actuated size-dependent microplate // J. Vib. Contr. 2021. Vol. 27. P. 1353-1369. https://doi.org/10.1177/1077546320940916
Ghayesh M.H., Farokhi H. Nonlinear behaviour of electrically actuated microplate-based MEMS resonators // MSSP. 2018. Vol. 109 P. 220-234. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2017.11.043
Saghir S., Younis M.I. An investigation of the mechanical behavior of initially curved microplates under electrostatic actuation // Acta Mech. 2018. Vol. 229. P. 2909-2922. https://doi.org/10.1007/s00707-018-2141-3
Saghir S., Younis M.I. An investigation of the mechanical behavior of initially curved microplates under electrostatic actuation // Acta Mech. 2018. Vol. 229. P. 2909-2922. https://doi.org/10.1007/s00707-018-2141-3
Ghayesh M.H., Farokhi H. Nonlinear behaviour of electrically actuated microplate-based MEMS resonators // MSSP. 2018. Vol. 109. P. 220-234. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2017.11.043
Chen X., Chen L., Huang S., Li M., Li X. Nonlinear forced vibration of in-plane bi-directional functionally graded materials rectangular plate with global and localized geometrical imperfections // Appl. Math. Model. 2021. Vol. 93. P. 443-466. https://doi.org/10.1016/j.apm.2020.12.033
Li C., Chou T.W. Single-walled carbon nanotubes as ultrahigh frequency nanomechanical resonators // Phys. Rev. B. 2003. Vol. 68. 073405. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.68.073405
Chen C., Rosenblatt S., Bolotin K.I., Kalb W., Kim P., Kymissis I., Stormer H.L., Heinz T.F., Hone J. Performance of monolayer graphene nanomechanical resonators with electrical readout // Nature Nanotech. 2009. Vol. 4. P. 861-867. https://doi.org/10.1038/nnano.2009.267
Sadeghi M., Naghdabadi R. Nonlinear vibrational analysis of single-layer graphene sheets // Nanotechnology. 2010. Vol. 21. 105705. https://doi.org/10.1088/0957-4484/21/10/105705
Kang J.W., Kim H.-W., Kim K.-S., Lee J.H. Molecular dynamics modeling and simulation of a graphene-based nanoelectromechanical resonator // Curr. Appl. Phys. 2013. Vol. 13. P. 789-794. https://doi.org/10.1016/j.cap.2012.12.007
Eriksson A.M., Midtvedt D., Croy A., Isacsson A. Frequency tuning, nonlinearities and mode coupling in circular mechanical graphene resonators // Nanotechnology. 2013. Vol. 24. 395702. https://doi.org/10.1088/0957-4484/24/39/395702
Lee H.-L., Hsu J.-C., Lin S.-Y., Chang W.-J. Sensitivity analysis of single-layer graphene resonators using atomic finite element method // J. Appl. Phys. 2013. Vol. 114. 123506. https://doi.org/10.1063/1.4823735
Jiang S., Gong X., Guo X., Wang X. Potential application of graphene nanomechanical resonator as pressure sensor // Solid State Comm. 2014. Vol. 193. P. 30-33. https://doi.org/10.1016/j.ssc.2014.05.020
Ansari R., Sahmani S., Arash B. Nonlocal plate model for free vibrations of single-layered graphene sheets // Phys. Lett. 2010. Vol. 375. P. 53-62. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2010.10.028
Zhang L.W., Zhang Y., Liew K.M. Modeling of nonlinear vibration of graphene sheets using a meshfree method based on nonlocal elasticity theory // Appl. Math. Model. 2017. Vol. 49. P. 691-704. https://doi.org/10.1016/j.apm.2017.02.053
Shen Z.-B., Tang H.-L., Li D.-K., Tang G.-J. Vibration of single-layered graphene sheet-based nanomechanical sensor via nonlocal Kirchhoff plate theory // Comput. Mater. Sci. 2012. Vol. 61. P. 200-205. https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2012.04.003
Nematollahi M.S., Mohammadi H., Nematollahi M.A. Thermal vibration analysis of nanoplates based on the higher-order nonlocal strain gradient theory by an analytical approach // Superlattices Microst. 2017. Vol. 111. P. 944-959. https://doi.org/10.1016/j.spmi.2017.07.055
Ebrahimi F., Barati M.R. Vibration analysis of nonlocal strain gradient embedded single-layer graphene sheets under nonuniform in-plane loads // J. Vib. Contr. 2018. Vol. 24. P. 4751-4763. https://doi.org/10.1177/1077546317734083
Fazelzadeh S.A., Ghavanloo E. Nanoscale mass sensing based on vibration of single-layered graphene sheet in thermal environments // Acta Mech. Sin. 2014. Vol. 30. P. 84-91. https://doi.org/10.1007/s10409-013-0102-6
Ebrahimi F., Barati M.R. Damping vibration analysis of graphene sheets on viscoelastic medium incorporating hygro-thermal effects employing nonlocal strain gradient theory // Compos. Struct. 2018. Vol. 185. P. 241-253. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2017.10.021
Shahsavari D., Karami B., Li L. Damped vibration of a graphene sheet using a higher-order nonlocal strain-gradient Kirchhoff plate model // Compt. Rendus Méc. 2018. Vol. 346. P. 1216-1232. https://doi.org/10.1016/j.crme.2018.08.011
Ebrahimi F., Barati M.R. A nonlocal strain gradient mass sensor based on vibrating hygro-thermally affected graphene nanosheets // Iran. J. Sci. Technol. Trans. Mech. Eng. 2019. Vol. 43. P. 205-220. https://doi.org/10.1007/s40997-017-0131-z
Desai S.H., Pandya A.A., Panchal M.B. Vibration characteristics of graphene nano resonator as mass sensor // J. Phys.: Conf. Ser. 2021. Vol. 1854. 012029. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1854/1/012029
dell'Isola F., Steigman D. A Two-dimensional gradient-elasticity theory for woven fabrics // J. Elast. 2015. Vol. 118. P. 113 125. https://doi.org/10.1007/s10659-014-9478-1
Еремеев В.А. Об одной нелинейной модели сетчатой оболочки // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 4. С. 127-133. https://doi.org/10.31857/S057232990000704-4
Крылова Е.Ю., Папкова И.В., Салтыкова О.А., Крысько В.А. Особенности сложных колебаний гибких микрополярных сетчатых панелей // Изв. Сарат. ун-та. Нов. cер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, № 1. С. 48-59. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2021-21-1-48-59
Крылова Е.Ю., Папкова И.В., Яковлева Т.В., Крысько В.А. Теория колебаний углеродных нанотрубок как гибких микрополярных сетчатых цилиндрических оболочек с учетом сдвига // Изв. Сарат. ун-та. Нов. cер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2019. Т. 19, № 3. С 305-316. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2019-19-3-305-316
Karman Th. Festigkeits probleme in Maschinenbau // Encykle. D. Math. Wiss. 1910. Vol. 4. P. 311-385.
Yang F., Chong A.C.M., Lam D.C.C., Tong P. Couple stress based strain gradient theory for elasticity // Int. J. Solids Struct. 2002. Vol. 39. P. 2731-2743. https://doi.org/10.1016/S0020-7683(02)00152-X
Пшеничнов Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок. М.: Наука, 1982. 352 с.
Hamilton W. Report of the Fourth Meeting British Association for the Advancement of Science. 1835. P. 513-518.
Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М: Наука, 1972. 432 с.
Francais O., Dufour I. Normalized abacus for the global behavior of diaphragm: pneumatic, electrostatic, piezoelectric or electromagnetic actuation // J. Model Simul. Microsyst. 1999. Vol. 2. P. 149-160.
Papkova I.V., Yakovleva T.V. Nonlinear eigen frequencies of a functionally graded porous nano-beam with respect to the coulomb and Casimir forces // E3S Web of Conf. 2023. Vol. 389. 01029. https://doi.org/10.1051/e3sconf/202338901029
Talebian S., Rezazadeh G., Fathalilou M., Toosi B. Effect of temperature on pull-in voltage and natural frequency of an electrostatically actuated microplate // Mechatronics. 2010. Vol. 20. P. 666-673. https://doi.org/10.1016/j.mechatronics.2010.07.009
Lee K.B. Closed-form solutions of the parallel plate problem // Sensors and Actuators A: Physical. 2007. Vol. 133. P. 518 525. https://doi.org/10.1016/j.sna.2006.04.049
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Copyright (c) 2023 Вычислительная механика сплошных сред
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.