Поведение гибкой сетчатой пластины, находящейся в электростатическом поле

Авторы

  • Екатерина Юрьевна Крылова Саратовский национальный исследовательский университет им. Н.Г. Чернышевского, Саратов, 610012, ул. Астраханская, д. 83 https://orcid.org/0000-0002-7593-0320

DOI:

https://doi.org/10.7242/1999-6691/2023.16.3.33

Ключевые слова:

углеродная нанопластина, сетчатая пластина, модифицированная моментная теория, электростатика, нелинейные колебания, собственные частоты колебаний

Аннотация

Объектом исследования является гибкая пластина сетчатой структуры с защемленными краями. На некотором расстоянии от пластины параллельно ей расположен неподвижный электрод. За счет внешнего источника между пластиной и электродом создается электрическое поле с заданной разностью потенциалов. Пластина притягивается (прогибается) в нормальном к электроду направлении и при достижении баланса между электрическими силами (силой Кулона) и силами упругости приходит в равновесное состояние. При увеличении разности потенциалов пластина перемещается в новое равновесное положение. Уравнения состояния элемента геометрически нелинейной пластины и граничные условия получены в рамках гипотез Кирхгофа из вариационного принципа Остроградского–Гамильтона. Рассматривается изотропный однородный материал. Масштабные эффекты приняты во внимание посредством применения модифицированной моментной теории упругости. При этом предполагается, что поля перемещений и вращений не являются независимыми. Геометрическая нелинейность учтена согласно теории Кармана. Сетчатая структура пластины моделировалась в рамках континуальной теории Г.И. Пшеничного, что позволило заменить регулярную систему ребер сплошным слоем. Исходя из условий равновесия прямоугольного элемента записаны соотношения, связывающие механические напряжения в эквивалентной гладкой пластине и в ребрах пластины сетчатой структуры. Для определения физических соотношений сетчатой пластины использован метод множителей Лагранжа. Для численного решения системы дифференциальных уравнений, описывающих нелинейные колебания сетчатой пластины, применен метод Бубнова–Галеркина. Математическая модель, алгоритм решения и программный комплекс верифицированы путем сравнения авторских результатов расчета с данными натурного эксперимента и результатами других авторов. Исследовано влияние геометрии сетчатой структуры пластины, величины постоянного электрического напряжения, геометрической нелинейности на частоту собственных колебаний жестко защемленной пластины. Численные результаты приведены для пластины из графена.

Скачивания

Данные по скачиваниям пока не доступны.
Поддерживающие организации
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 22-21-00331) https://rscf.ru/project/22-21-00331.

Библиографические ссылки

Zaporotskova I.V., Boroznina N.P., Parkhomenko Y.N., Kozhitov L.V. Carbon nanotubes: Sensor properties. A review // Mod. Electron. Mater. 2016. Vol. 2. P. 95-105. https://doi.org/10.1016/j.moem.2017.02.002

Meyyappan M. Carbon nanotube-based chemical sensor // Small. 2016. Vol. 12. P. 2118-2129. https://doi.org/10.1002/smll.201502555

Ionete E.I., Spiridon S.-I., Monea B.F., Ebrasu-Ion D., Vaseashta A. SWCNT-Pt-P2O5-based sensor for humidity measurements // IEEE Sensor J. 2016. Vol. 16. P. 7593-7599. https://doi.org/10.1109/JSEN.2016.2603478

Ionete E.I., Spiridon S.-I., Monea B.F., Stratulat E. A room temperature gas sensor based on sulfonated SWCNTs for the detection of NO and NO2 // Sensors. 2019. Vol. 19. 1116. https://doi.org/10.3390/s19051116

Sinha N., Ma J., Yeow J.T.W. Carbon nanotube-based sensors // JNN. 2006. Vol. 6. P. 573-590. https://doi.org/10.1166/jnn.2006.121

Yu C., Liu Q., He Z., Gao X., Wu E., Guo J., Zhou C., Feng Z. Epitaxial graphene gas sensors on SiC substrate with high sensitivity // J. Semicond. 2020. Vol. 41. 032101. https://doi.org/10.1088/1674-4926/41/3/032101

Dong Q., Xiao M., Li G., Zhang Y. Recent progress of toxic gas sensors based on 3d graphene frameworks // Sensors. 2021. Vol. 21. 3386. https://doi.org/10.3390/s21103386

Wei L., Kuai X., Bao Y., Wei J., Yang L., Song P., Zhang M., Yang F., Wang X. The recent progress of MEMS/NEMS resonators // Micromachines. 2021. Vol. 12. 724. https://doi.org/10.3390/mi12060724

Geim A.K., Novoselov K.S. The rise of graphen // Nature Mater. 2007. Vol. 6. P. 183-191. https://doi.org/10.1038/nmat1849

Bernholc J., Brenner D., Buongiorno Nardelli M., Meunier V., Roland C. Mechanical and electrical properties of nanotubes // Annu. Rev. Mater. Res. 2002. Vol. 32. P. 347-375. https://doi.org/10.1146/annurev.matsci.32.112601.134925

Fukuda T., Arai F., Dong L. Assembly of nanodevices with carbon nanotubes through nanorobotic manipulations // Proc. IEEE. 2003. Vol. 91. P. 1803-1818. https://doi.org/10.1109/JPROC.2003.818334

De Volder M.F.L., Tawfick S.H., Baughman R.H., Hart A.J. Carbon nanotubes: Present and future commercial applications // Science. 2013. Vol. 339. P. 535-539. https://doi.org/10.1126/science.1222453

Verbiest G.J., Kirchhof J.N., Sonntag J., Goldsche M., Khodkov T., Stampfer C. Detecting ultrasound vibrations with graphene resonators // Nano Lett. 2018. Vol. 18. P. 5132-5137. https://doi.org/10.1021/acs.nanolett.8b02036

Monea B.F., Ionete E.I., Spiridon S.I., Ion-Ebrasu D., Petre E. Carbon nanotubes and carbon nanotube structures used for temperature measurement // Sensors. 2019. Vol. 19. 2464. https://doi.org/10.3390/s19112464

Lam D.C.C., Yang F., Chong A.C.M., Wang J., Tong P. Experiments and theory in strain gradient elasticity // J. Mech. Phys. Solid. 2003. Vol. 51. P. 1477-1508. https://doi.org/10.1016/S0022-5096(03)00053-X

Chong A.C.M., Yang F., Lam D.C.C., Tong P. Torsion and bending of micron-scaled structures // J. Mater. Res. 2001. Vol. 16. P. 1052-1058. https://doi.org/10.1557/JMR.2001.0146

Stolken J.S., Evans A.G. A microbend test method for measuring the plasticity length scale // Acta Mater. 1998. Vol. 46. P. 5109-5115. https://doi.org/10.1016/S1359-6454(98)00153-0

Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Paris: A. Herman Sons, 1909. 250 p.

Mindlin R.D., Tiersten H.F. Effects of couple-stresses in linear elasticity // Arch. Ration. Mech. Anal. 1962. Vol. 11. P. 415 448.

Toupin R.A. Elastic materials with couple-stresses // Arch. Ration. Mech. Anal. 1962. Vol. 11. P. 385-414.

Koiter W.T. Couples-stress in the theory of elasticity // Proc. K. Ned. Akad. Wet. 1964. Vol. 67. P. 17-44.

Eringen A.C. Linear theory of nonlocal elasticity and dispersion of plane waves // Int. J. Eng. Sci. 1972. Vol. 10. P. 425-435.

Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих оболочек. М.: Наука, 2008. 286 с.

Altenbach H., Eremeyev V.A. On the linear theory of micropolar plates // ZAMM. 2009. Vol. 89. P. 242-256. https://doi.org/10.1002/zamm.200800207

Nuhu A.A., Safaei B. A comprehensive review on the vibration analyses of small-scaled plate-based structures by utilizing the nonclassical continuum elasticity theories // Thin-Walled Structures. 2022. Vol. 179. 109622. https://doi.org/10.1016/j.tws.2022.109622

Mozhgova N., Lukin A., Popov I. Model of a micromechanical modal-localized accelerometer with an initially curvedmicrobeam as a sensitive element // Microactuators, Microsensors and Micromechanisms / Ed. A.K. Pandey, P. Pal, Nagahanumaiah, L. Zentner. Springer Cham, 2022. P. 94-118. https://doi.org/10.1007/978-3-031-20353-4_7

Morozov N.F., Indeitsev D.A., Igumnova V.S., Lukin A.V., Popov I.A., Shtukin L.V. Nonlinear dynamics of mode-localized MEMS accelerometer with two electrostatically coupled microbeam sensing elements // Int. J. Non Lin. Mech. 2022. Vol. 138. 103852. https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2021.103852

Ilyas S., Younis M.I. Theoretical and experimental investigation of mode localization in electrostatically and mechanically coupled microbeam resonators // Int. J. Non Lin. Mech. 2020. Vol. 125. 103516. https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2020.103516

Indeitsev D.A., Igumnova V.S., Lukin A.V., Popov I.A., Shtukin L.V., Belyaev Ya.V. Differential resonant MEMS accelerometer: Synchronization characteristics of weakly coupled microbeam sensing elements. http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.36579.84004

Karimipour I., Beni Y.T., Akbarzadeh A.H. Size-dependent nonlinear forced vibration and dynamic stability of electrically actuated micro-plates // Comm. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2019. Vol. 78. 104856. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2019.104856

Karimipour I., Tadi Beni Y., Zeighampour H. Vibration and dynamic behavior of electrostatic size-dependent micro-plates // J. Braz. Soc. Mech. Sci. Eng. 2020. Vol. 42. P. 1-22. https://doi.org/10.1007/s40430-020-02490-4

Karami M., Kazemi A., Vatankhah R., Khosravifard A. Adaptive fractional-order backstepping sliding mode controller design for an electrostatically actuated size-dependent microplate // J. Vib. Contr. 2021. Vol. 27. P. 1353-1369. https://doi.org/10.1177/1077546320940916

Ghayesh M.H., Farokhi H. Nonlinear behaviour of electrically actuated microplate-based MEMS resonators // MSSP. 2018. Vol. 109 P. 220-234. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2017.11.043

Saghir S., Younis M.I. An investigation of the mechanical behavior of initially curved microplates under electrostatic actuation // Acta Mech. 2018. Vol. 229. P. 2909-2922. https://doi.org/10.1007/s00707-018-2141-3

Saghir S., Younis M.I. An investigation of the mechanical behavior of initially curved microplates under electrostatic actuation // Acta Mech. 2018. Vol. 229. P. 2909-2922. https://doi.org/10.1007/s00707-018-2141-3

Ghayesh M.H., Farokhi H. Nonlinear behaviour of electrically actuated microplate-based MEMS resonators // MSSP. 2018. Vol. 109. P. 220-234. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2017.11.043

Chen X., Chen L., Huang S., Li M., Li X. Nonlinear forced vibration of in-plane bi-directional functionally graded materials rectangular plate with global and localized geometrical imperfections // Appl. Math. Model. 2021. Vol. 93. P. 443-466. https://doi.org/10.1016/j.apm.2020.12.033

Li C., Chou T.W. Single-walled carbon nanotubes as ultrahigh frequency nanomechanical resonators // Phys. Rev. B. 2003. Vol. 68. 073405. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.68.073405

Chen C., Rosenblatt S., Bolotin K.I., Kalb W., Kim P., Kymissis I., Stormer H.L., Heinz T.F., Hone J. Performance of monolayer graphene nanomechanical resonators with electrical readout // Nature Nanotech. 2009. Vol. 4. P. 861-867. https://doi.org/10.1038/nnano.2009.267

Sadeghi M., Naghdabadi R. Nonlinear vibrational analysis of single-layer graphene sheets // Nanotechnology. 2010. Vol. 21. 105705. https://doi.org/10.1088/0957-4484/21/10/105705

Kang J.W., Kim H.-W., Kim K.-S., Lee J.H. Molecular dynamics modeling and simulation of a graphene-based nanoelectromechanical resonator // Curr. Appl. Phys. 2013. Vol. 13. P. 789-794. https://doi.org/10.1016/j.cap.2012.12.007

Eriksson A.M., Midtvedt D., Croy A., Isacsson A. Frequency tuning, nonlinearities and mode coupling in circular mechanical graphene resonators // Nanotechnology. 2013. Vol. 24. 395702. https://doi.org/10.1088/0957-4484/24/39/395702

Lee H.-L., Hsu J.-C., Lin S.-Y., Chang W.-J. Sensitivity analysis of single-layer graphene resonators using atomic finite element method // J. Appl. Phys. 2013. Vol. 114. 123506. https://doi.org/10.1063/1.4823735

Jiang S., Gong X., Guo X., Wang X. Potential application of graphene nanomechanical resonator as pressure sensor // Solid State Comm. 2014. Vol. 193. P. 30-33. https://doi.org/10.1016/j.ssc.2014.05.020

Ansari R., Sahmani S., Arash B. Nonlocal plate model for free vibrations of single-layered graphene sheets // Phys. Lett. 2010. Vol. 375. P. 53-62. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2010.10.028

Zhang L.W., Zhang Y., Liew K.M. Modeling of nonlinear vibration of graphene sheets using a meshfree method based on nonlocal elasticity theory // Appl. Math. Model. 2017. Vol. 49. P. 691-704. https://doi.org/10.1016/j.apm.2017.02.053

Shen Z.-B., Tang H.-L., Li D.-K., Tang G.-J. Vibration of single-layered graphene sheet-based nanomechanical sensor via nonlocal Kirchhoff plate theory // Comput. Mater. Sci. 2012. Vol. 61. P. 200-205. https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2012.04.003

Nematollahi M.S., Mohammadi H., Nematollahi M.A. Thermal vibration analysis of nanoplates based on the higher-order nonlocal strain gradient theory by an analytical approach // Superlattices Microst. 2017. Vol. 111. P. 944-959. https://doi.org/10.1016/j.spmi.2017.07.055

Ebrahimi F., Barati M.R. Vibration analysis of nonlocal strain gradient embedded single-layer graphene sheets under nonuniform in-plane loads // J. Vib. Contr. 2018. Vol. 24. P. 4751-4763. https://doi.org/10.1177/1077546317734083

Fazelzadeh S.A., Ghavanloo E. Nanoscale mass sensing based on vibration of single-layered graphene sheet in thermal environments // Acta Mech. Sin. 2014. Vol. 30. P. 84-91. https://doi.org/10.1007/s10409-013-0102-6

Ebrahimi F., Barati M.R. Damping vibration analysis of graphene sheets on viscoelastic medium incorporating hygro-thermal effects employing nonlocal strain gradient theory // Compos. Struct. 2018. Vol. 185. P. 241-253. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2017.10.021

Shahsavari D., Karami B., Li L. Damped vibration of a graphene sheet using a higher-order nonlocal strain-gradient Kirchhoff plate model // Compt. Rendus Méc. 2018. Vol. 346. P. 1216-1232. https://doi.org/10.1016/j.crme.2018.08.011

Ebrahimi F., Barati M.R. A nonlocal strain gradient mass sensor based on vibrating hygro-thermally affected graphene nanosheets // Iran. J. Sci. Technol. Trans. Mech. Eng. 2019. Vol. 43. P. 205-220. https://doi.org/10.1007/s40997-017-0131-z

Desai S.H., Pandya A.A., Panchal M.B. Vibration characteristics of graphene nano resonator as mass sensor // J. Phys.: Conf. Ser. 2021. Vol. 1854. 012029. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1854/1/012029

dell'Isola F., Steigman D. A Two-dimensional gradient-elasticity theory for woven fabrics // J. Elast. 2015. Vol. 118. P. 113 125. https://doi.org/10.1007/s10659-014-9478-1

Еремеев В.А. Об одной нелинейной модели сетчатой оболочки // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 4. С. 127-133. https://doi.org/10.31857/S057232990000704-4

Крылова Е.Ю., Папкова И.В., Салтыкова О.А., Крысько В.А. Особенности сложных колебаний гибких микрополярных сетчатых панелей // Изв. Сарат. ун-та. Нов. cер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, № 1. С. 48-59. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2021-21-1-48-59

Крылова Е.Ю., Папкова И.В., Яковлева Т.В., Крысько В.А. Теория колебаний углеродных нанотрубок как гибких микрополярных сетчатых цилиндрических оболочек с учетом сдвига // Изв. Сарат. ун-та. Нов. cер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2019. Т. 19, № 3. С 305-316. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2019-19-3-305-316

Karman Th. Festigkeits probleme in Maschinenbau // Encykle. D. Math. Wiss. 1910. Vol. 4. P. 311-385.

Yang F., Chong A.C.M., Lam D.C.C., Tong P. Couple stress based strain gradient theory for elasticity // Int. J. Solids Struct. 2002. Vol. 39. P. 2731-2743. https://doi.org/10.1016/S0020-7683(02)00152-X

Пшеничнов Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок. М.: Наука, 1982. 352 с.

Hamilton W. Report of the Fourth Meeting British Association for the Advancement of Science. 1835. P. 513-518.

Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М: Наука, 1972. 432 с.

Francais O., Dufour I. Normalized abacus for the global behavior of diaphragm: pneumatic, electrostatic, piezoelectric or electromagnetic actuation // J. Model Simul. Microsyst. 1999. Vol. 2. P. 149-160.

Papkova I.V., Yakovleva T.V. Nonlinear eigen frequencies of a functionally graded porous nano-beam with respect to the coulomb and Casimir forces // E3S Web of Conf. 2023. Vol. 389. 01029. https://doi.org/10.1051/e3sconf/202338901029

Talebian S., Rezazadeh G., Fathalilou M., Toosi B. Effect of temperature on pull-in voltage and natural frequency of an electrostatically actuated microplate // Mechatronics. 2010. Vol. 20. P. 666-673. https://doi.org/10.1016/j.mechatronics.2010.07.009

Lee K.B. Closed-form solutions of the parallel plate problem // Sensors and Actuators A: Physical. 2007. Vol. 133. P. 518 525. https://doi.org/10.1016/j.sna.2006.04.049

Загрузки

Опубликован

2023-10-21

Выпуск

Раздел

Статьи

Как цитировать

Крылова, Е. Ю. (2023). Поведение гибкой сетчатой пластины, находящейся в электростатическом поле. Вычислительная механика сплошных сред, 16(3), 387-400. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2023.16.3.33