О применении линеаризации Видебурга при решении задачи устойчивости двухслойной смеси с концентрационно-зависимой диффузией

Аннотация

Рассматривается задача устойчивости изотермической системы двух смешивающихся жидкостей в поле силы тяжести. Жидкости представляют собой водные растворы нереагирующих веществ, имеющих разные коэффициенты диффузии. В начальный момент времени растворы разделены в пространстве бесконечно тонкой горизонтальной контактной поверхностью. Такая конфигурация легко реализуется экспериментально, но более сложна для теоретического анализа, поскольку профили концентрации эволюционируют во времени. Предполагается, что начальная конфигурация системы статически устойчива. После старта эволюции растворы начинают смешиваться, проникают друг в друга и создают условия для развития конвективной неустойчивости двойной диффузии. Важным осложняющим фактором задачи служит функциональная зависимость коэффициентов диффузии растворов от их концентрации. В последние годы этот эффект активно изучается, так как его существенное влияние на конвективную устойчивость было доказано экспериментально. В данной работе для простоты предполагается, что коэффициенты диффузии растворов зависят от концентрации линейным образом. Математическая постановка задачи устойчивости смеси включает в себя уравнение движения в приближении Дарси и Буссинеска, уравнение неразрывности, а также два уравнения переноса для концентраций веществ. Решение такой задачи при отсутствии концентрационно-зависимой диффузии хорошо известно из литературы. Учет же этой зависимости приводит к уравнениям нелинейной диффузии, которые в общем случае могут быть решены только численно. Для нахождения приближенного аналитического решения авторами предлагается использовать метод линеаризации уравнений диффузии, предложенный Видебургом в 1890 г. Метод хорошо известен в теории теплопроводности, хотя изначально был разработан именно для растворов веществ. Показано, что в этом случае условия для конвективной устойчивости основного состояния могут быть получены в аналитическом виде. Проводится сравнительный анализ невязки между решением Видебурга и численным решением. На основании аналитического решения построена карта устойчивости. Исследовано влияние концентрационной зависимости коэффициентов диффузии на устойчивость смеси.