Вариационные многомасштабные методы конечных элементов для нелинейного уравнения конвекции-диффузии-реакции

Аннотация

Работа посвящена построению вариационных многомасштабных методов конечных элементов для численного решения двумерных краевых задач с сингулярно-возмущенным нестационарным нелинейным уравнением конвекции-диффузии-реакции. Решения данных задач могут быстро изменяться в тонких слоях, что при применении стандартной расчетной схемы Галёркина приводит к возникновению в этих областях нефизических осцилляций. В вариационных многомасштабных методах выполняется разложение исходной задачи на сеточную и подсеточную, что позволяет учесть особенности задачи на масштабах, меньших размера элемента сетки. В данной работе рассматриваются два многомасштабных метода: VMM-ASA (Variational Multiscale Method with Algebraic Sub-scale Approximation) и RFB (Residual-Free Bubbles) метод. В первом из них подсеточная задача аппроксимируется с использованием невязки сеточного уравнения и стабилизирующих параметров. Во втором подсеточная задача решается приближенно на основе аппроксимационных функций специального вида. Постановки сеточной и подсеточной задач определяются посредством линеаризации исходной задачи по подсеточной компоненте. Компьютерная реализация методов выполнена в коммерческом пакете конечно-элементного моделирования. Эффективность предложенных методов исследована путем решения модельной краевой задачи с нелинейным уравнением. Рассмотрены случаи различной величины коэффициента диффузии. В результате вычислительных экспериментов показано, что по сравнению со стандартной расчетной схемой Галёркина многомасштабные методы дают возможность достигать более устойчивого численного решения как с меньшим количеством осцилляций, так и их меньшей амплитудой. При малой величине коэффициента диффузии, когда схема Галёркина расходится, стабилизированные методы обеспечивают приемлемое численное решение на достаточно грубой сетке.