О применении линеаризации Видебурга при решении задачи устойчивости двухслойной смеси с концентрационно-зависимой диффузией

  • Дмитрий Анатольевич Брацун Пермский национальный исследовательский политехнический университет
  • Владимир Александрович Вяткин Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Ключевые слова: концентрационно-зависимая диффузия, неустойчивость двойной диффузии, смешивающиеся жидкости, линеаризация Видебурга

Аннотация

Рассматривается задача устойчивости изотермической системы двух смешивающихся жидкостей в поле силы тяжести. Жидкости представляют собой водные растворы нереагирующих веществ, имеющих разные коэффициенты диффузии. В начальный момент времени растворы разделены в пространстве бесконечно тонкой горизонтальной контактной поверхностью. Такая конфигурация легко реализуется экспериментально, но более сложна для теоретического анализа, поскольку профили концентрации эволюционируют во времени. Предполагается, что начальная конфигурация системы статически устойчива. После старта эволюции растворы начинают смешиваться, проникают друг в друга и создают условия для развития конвективной неустойчивости двойной диффузии. Важным осложняющим фактором задачи служит функциональная зависимость коэффициентов диффузии растворов от их концентрации. В последние годы этот эффект активно изучается, так как его существенное влияние на конвективную устойчивость было доказано экспериментально. В данной работе для простоты предполагается, что коэффициенты диффузии растворов зависят от концентрации линейным образом. Математическая постановка задачи устойчивости смеси включает в себя уравнение движения в приближении Дарси и Буссинеска, уравнение неразрывности, а также два уравнения переноса для концентраций веществ. Решение такой задачи при отсутствии концентрационно-зависимой диффузии хорошо известно из литературы. Учет же этой зависимости приводит к уравнениям нелинейной диффузии, которые в общем случае могут быть решены только численно. Для нахождения приближенного аналитического решения авторами предлагается использовать метод линеаризации уравнений диффузии, предложенный Видебургом в 1890 г. Метод хорошо известен в теории теплопроводности, хотя изначально был разработан именно для растворов веществ. Показано, что в этом случае условия для конвективной устойчивости основного состояния могут быть получены в аналитическом виде. Проводится сравнительный анализ невязки между решением Видебурга и численным решением. На основании аналитического решения построена карта устойчивости. Исследовано влияние концентрационной зависимости коэффициентов диффузии на устойчивость смеси.

Литература


  1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Шихов В.М. Об устойчивости конвективного течения жидкости с вязкостью, зависящей от температуры // ТВТ. 1975. Т. 13, № 4. С. 771-778.

  2. Thangam S., Chen C.F. Stability analysis of the convection of a variable viscosity fluid in an infinite vertical slot // Phys. Fluids. 1986. Vol. 29. P. 1367-1372. https://doi.org/10.1063/1.865702

  3. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.

  4. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: АН СССР, 1952. 538 с.

  5. Бирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // ПМТФ. 1966. № 3. С. 69-72. (English version https://doi.org/10.1007/BF00914697)

  6. Nepomnyashchy A.A., Velarde M.G., Colinet P. Interfacial phenomena and convection. Chapman and Hall/CRC, 2002. 365 p.

  7. Зуев А.Л., Костарев К.Г. Особенности концентрационно-капиллярной конвекции // УФН. 2008. Т. 178, № 10. С. 1065-1085. https://doi.org/10.3367/UFNr.0178.200810d.1065

  8. Ash R., Espenhahn S.E. Transport through a slab membrane governed by a concentration-dependent diffusion coefficient. III. Numerical solution of the diffusion equation: ‘early-time’ and ‘t’ procedures // J. Membr. Sci. 2000. Vol. 180.
    P. 133-146. http://dx.doi.org/10.1016/S0376-7388(00)00530-5

  9. Bowen R.W., Williams P.M. Prediction of the rate of cross-flow ultrafiltration of colloids with concentration-dependent diffusion coefficient and viscosity – theory and experiment // Chem. Eng. Sci. 2001. Vol. 56. P. 3083-3099. http://dx.doi.org/10.1016/S0009-2509(00)00552-2

  10. Crank J. The mathematics of diffusion. Oxford University Press, 1975. 414 p.

  11. Bratsun D., Kostarev K., Mizev A., Mosheva E. Concentration-dependent diffusion instability in reactive miscible fluids // Phys. Rev. E. 2015. Vol. 92. 011003. http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.92.011003

  12. Bratsun D.A., Stepkina O.S., Kostarev K.G., Mizev A.I., Mosheva E.A. Development of concentration-dependent diffusion instability in reactive miscible fluids under influence of constant or variable inertia // Microgravity Sci. Technol. 2016. Vol. 28. P. 575-585. http://dx.doi.org/10.1007/s12217-016-9513-x

  13. Брацун Д.А. Внутренние волны плотности ударного типа, индуцированные хемоконвекцией в смешивающихся реагирующих жидкостях // ПЖТФ. 2017. Т. 43, № 20. С. 69-77. http://doi.org/10.21883/PJTF.2017.20.45152.16927

  14. Брацун Д.А., Мошева Е.А.Особенности формирования волн плотности в двухслойной системе смешивающихся реагирующих жидкостей // Вычисл. мех. сплош. сред. 2018. Т. 11, № 3. C. 302-322. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2018.11.3.23

  15. Stern M.E. The salt-fountain and thermohaline convection // Tellus. 1960. Vol. 12. P. 172-175. https://doi.org/10.3402/tellusa.v12i2.9378

  16. Turner J.S. Double-diffusive phenomena // Ann. Rev. Fluid Mech. 1974. Vol. 6. P. 37-54. http://dx.doi.org/10.1146/annurev.fl.06.010174.000345

  17. Trevelyan P.M.J., Almarcha C., De Wit A. Buoyancy-driven instabilities of miscible two-layer stratifications in porous media and Hele-Shaw cells // J. Fluid Mech. 2011. Vol. 670. P. 38-65. https://doi.org/10.1017/S0022112010005008

  18. Wiedeburg O. Ueber die Hydrodiffusion // Annalen der Physik. 1890. Vol. 277, No. 12. P. 675-711. https://doi.org/10.1002/andp.18902771204

  19. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

  20. Зуев А.Л., Костарев К.Г. Особенности концентрационно-капиллярной конвекции // УФН. 2008. Т. 178, № 10. С. 1065-1085. https://doi.org/10.3367/UFNr.0178.200810d.1065

  21. Гершуни Г.3.Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

  22. Radko T. Double-diffusive convection. Cambridge University Press, 2013. 344 p. https://doi.org/10.1017/CBO9781139034173

  23. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О конвективной неустойчивости двух компонентной смеси в поле тяжести // ПММ. 1963. Т. 27, № 2. С. 301-308. (English version https://doi.org/10.1016/0021-8928(63)90012-1)

  24. Nield D.A. Onset of thermohaline convection in a porous medium // Water Resour. Res. 1968. Vol. 4. P. 553-560. https://doi.org/10.1029/WR004i003p00553

  25. Huppert H.E., Manins P.C. Limiting conditions for salt-fingering at an interface // Deep Sea Res. Oceanogr. Abstr. 1973. Vol. 20. P. 315-323. https://doi.org/10.1016/0011-7471(73)90056-9

  26. Аитова Е.В., Брацун Д.А., Костарев К.Г., Мизев А.И., Мошева Е.А. Конвективная неустойчивость в двухслойной системе реагирующих жидкостей с диффузией, зависящей от концентрации компонентов // Вычисл. мех. сплош. сред. 2015. Т. 8, №4. C. 345-358. http://doi.org/10.7242/1999-6691/2015.8.4.29

  27. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. 228 с.

Опубликован
2020-12-30
Как цитировать
Брацун, Д. А., & Вяткин, В. А. (2020). О применении линеаризации Видебурга при решении задачи устойчивости двухслойной смеси с концентрационно-зависимой диффузией. Вычислительная механика сплошных сред, 13(4), 459-470. https://doi.org/https://doi.org/10.7242/1999-6691/2020.13.4.36
Раздел
Статьи