Точное решение для установившихся конвективных концентрационных течений типа Куэтта

  • Наталья Владимировна Бурмашева Институт машиноведения УрО РАН
  • Евгений Юрьевич Просвиряков Институт машиноведения УрО РАН
Ключевые слова: диффузионное слоистое течение, уравнение Навье-Стокса, точное решение, переопределенная система, стратификация, возвратные течения, противотечения

Аннотация

В статье приведено точное решение задачи установившегося диффузионного слоистого течения типа Куэтта вязкой несжимаемой жидкой бинарной смеси, индуцированное параболическим ветром, заданным на одной из границ области течения. Течение моделируется уравнениями концентрационной конвекции, состоящими из уравнений Навье-Стокса (в приближении Буссинеска), уравнения несжимаемости и уравнения изменения концентрации легкой фазы бинарной смеси. Решение данной нелинейной переопределенной системы уравнений ищется в рамках класса Линя-Сидорова-Аристова. Показана разрешимость редуцированной системы уравнений относительно компонент поля скорости, полей концентрации и давления. В качестве области течения выбран плоский горизонтальный бесконечный слой постоянной толщины. Отличительной особенностью построенного точного решения является учет свойства непроницаемости твердой гидрофильной поверхности, ограничивающей снизу область течения. В ходе анализа полученных формул для распределения поля скорости установлено, что иногда течение может быть сведено к однонаправленному. В общем же случае каждая из ненулевых компонент вектора скорости способна иметь не более одной нулевой точки внутри слоя, причем они будут совпадать друг с другом только при условии, что течение реализуется как однонаправленное. Обнаружено, что соответствующее поле касательных напряжений стратифицируется на две зоны, в пределах каждой из которых напряжение имеет постоянный знак и меняет его при переходе из зоны в зону. При исследовании поля концентрации выявлена принципиальная возможность расслоения поля фоновой концентрации на две зоны от референсного значения. При этом поле фонового давления, в отличие от отсчетного, будет состоять уже из трех частей. Таким образом, полученное решение может описывать возвратные течения, локализующиеся (при определенных сочетаниях краевых параметров и физических характеристик жидкости) вблизи границ рассматриваемого слоя жидкости.

Литература


  1. Булгаков С.Н. Исследование роли халинных факторов в формировании циркуляции и структуры вод Черного моря / Дис. … канд. физ.-мат. наук: 01.04.12. Севастополь, Мор. гидрофиз. ин-т., 1986. 155 с.

  2. Булгаков С.Н., Коротаев Г.К. Аналитическая модель струйной циркуляции в замкнутых водоемах // Морской гидрофизический журнал. 1987. № 3. С. 434-446.

  3. Аристов С.Н., Шварц К.Г. О влиянии солеобмена на циркуляцию жидкости в замкнутом водоеме // Морской гидрофизический журнал. 1990. № 4. С. 38-42. (English version https://doi.org/10.1007/BF02346081)

  4. Овчинников И.М., Титов В.Б. Антициклоническая завихренность течений в прибрежной зоне Чёрного моря // ДАН СССР. 1990. Т. 314, № 5. С. 1236-1239.

  5. Иванов В.А., Белокопытов В.Н. Океанография Черного моря. Севастополь: Морской гидрофизический институт, 2011. 212 с.

  6. Зуев A.Л. Разрыв слоя жидкости концентрационно-капиллярным течением // Коллоидный журнал. 2007. Т. 69, № 3. С. 315-322. (English version https://doi.org/10.1134/S1061933X07030040)

  7. Бирих P.В., Рудаков Р.Н. Влияние интенсивности адсорбционно-десорбционных процессов на концентрационную конвекцию около капли в горизонтальном канале // Вычисл. мех. сплош. сред. 2010. Т. 3, № 1. С. 24-31. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2010.3.1.3

  8. Холпанов Л.П., Запорожец Е.П., Зиберт Г.К., Кащицкий Ю.А. Математическое моделирование нелинейных термогидрогазодинамических процессов в многокомпонентных струйных течениях. М.: Наука,1998. 320 с.

  9. Косов В.Н., Мукамеденкызы В., Федоренко О.В. Некоторые особенности смешения тройных газовых смесей на границе смены режимов «диффузия – концентрационная гравитационная конвекция» в квазистационарных условиях // Вестник МГОУ. Сер.: Естественные науки. 2018. № 2. С. 125-133. https://doi.org/10.18384/2310-7189-2018-2-125-133

  10. Попов В.Г., Сиденко Д.В., Токарев С.А. Механизм и геохимические последствия плотностной конвекции в гидростратисфере // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2012. № 6(169). С. 97-100.

  11. Косов В.Н., Федоренко О.В., Жакебаев Д.Б., Кизбаев А.П. Особенности возникновения структурированных формирований на границе смены режимов «диффузия-концентрационная конвекция» при изотермическом смешении бинарной смеси, в равной степени разбавленной третьим компонентом // Т и А. 2019. Т. 26, № 1.
    С. 31-40. (English version https://doi.org/10.1134/S0869864319010049)

  12. Красноперов Я.И., Скляренко М.С. Фотометрический способ определения коэффициента диффузии в водных растворах красителей в тонкой горизонтальной ячейке // Приборы и техника эксперимента. 2017. № 6. С. 123-129. https://doi.org/10.7868/S0032816217060222

  13. Жуков М.Ю., Цывенкова О.А. Моделирование гравитационной концентрационной конвекции при изотахофорезе // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2019. № 4(204). С. 27-35. https://doi.org/10.23683/0321-3005-2019-4-27-35

  14. Черепанов А.Н., Черепанова В.К., Шарапов В.Н. О возможной роли термоконцентрационной конвекции при фракционировании компонентов в базитовых интрузивах // ДАН. 2005. Т. 404, № 4. С. 542-546.

  15. Завгородний П.Ф., Колесник В.И., Повх И.Л., Севостьянов Г.М. Концентрационная конвекция в затвердевающем расплаве // ПМТФ. 1977. № 6. С. 98-103. (English version https://doi.org/10.1007/BF00851157)

  16. Tao C., Wu W.-T., Massoudi M. Natural convection in a non-newtonian fluid: effects of particle concentration // Fluids. 2019. Vol. 4. P. 192-206. https://doi.org/10.3390/fluids4040192

  17. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

  18. Копбосынов Б.К., Пухначев В.В. Термокапиллярное движение в тонком слое жидкости // Гидромеханика и процессы переноса в невесомости / Под ред. В.С. Авдуевского. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. 167 с.
    С. 116-125.

  19. Коробкин А А. Плоская задача об ударе вертикальной стенкой по слою частично аэрированной жидкости // ПМТФ. 2006. Т. 47, № 5. С. 34-46. (English version https://doi.org/10.1007/s10808-006-0100-6)

  20. Жданов С.К, Власов В.Л. О приближениях «мелкой» и «глубокой воды» в теории разрывной неустойчивости тонкого токового слоя // ЖЭТФ. 1998. Т. 113, № 4. С. 1313-1318. (English version https://doi.org/10.1134/1.558531)

  21. Oron A., Davis S.H., Bankoff S.G. Long-scale evolution of thin liquid films // Rev. Mod. Phys. 1997. Vol. 69. P. 931-980. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.69.931

  22. Duffy B.R., Langer M., Wilson S.K. Closed-form solution of a thermocapillary free-film problem due to Pukhnachev // Eur. J. Appl. Math. 2015. Vol. 26. P. 721-741. https://doi.org/10.1017/S095679251500008X

  23. Couette M. Études sur le frottement des liquides // Ann. Chim. Phys. 1890. Vol. 21. Р. 433-510.

  24. Poiseuille J. Recherches expérimenteles sur le mouvement des liquides dans les tubes de trés petits diamétres // Comptes rendus hebdomadaires des s’eances de l'Acadmemie des Sciences. 1840. Vol. 11. P. 961-967.

  25. Ekman V.W. On the influence of the earth's rotation on ocean-currents // Ark. Mat. Astron. Fys. 1905. Vol. 2, No. 11.
    P. 1-53.

  26. Stokes G.G. On the effect of the internal friction of fluid on the motion of pendulums // Camb. Philo. Trans. 1851. Vol. 9. P. 8-106.

  27. Stokes G.G. On the theories of internal friction of fluids in motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 1845. Vol. 8. P. 287-319. https://doi.org/10.1017/CBO9780511702242.005

  28. Аристов С.Н., Князев Д.В., Полянин А.Д. Точные решения уравнений Навье-Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственный переменных // ТОХТ. 2009. Т. 43, № 5. С. 547-566. (English version https://doi.org/10.1134/S0040579509050066)

  29. Muradov Kh., Davies D. Linear non-adiabatic flow of an incompressible fluid in a porous layer – Review, adaptation and analysis of the available temperature models and solutions // J. Petrol. Sci. Eng. 2012. Vol. 86-87. Р. 1-14. https://doi.org/10.1016/j.petrol.2012.03.011

  30. Yun T. Review on analytical solutions for slump flow of cement paste // Int. J. Highw. Eng. 2016. Vol. 18. P. 21-32. https://doi.org/10.7855/IJHE.2016.18.3.021

  31. Бирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // ПМТФ. 1966. № 3. С. 69-72. (English version https://doi.org/10.1007/BF00914697)

  32. Smith M.K., Davis S.H. Instabilities of dynamic thermocapillary liquid layers. Part. 1. Convective instabilities // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 132. Р. 119-144. https://doi.org/10.1017/S0022112083001512

  33. Ortiz-Pérez A.S., Dávalos-Orozco L.A. Convection in a horizontal fluid layer under an inclined temperature gradient // Phys. Fluid. 2011. Vol. 23. 084107. https://doi.org/10.1063/1.3626009

  34. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. М.: Гостехиздат, 1952. 256 с.

  35. Аристов С.Н., Шварц К.Г. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости. Пермь:
    Изд-во Пермского гос. ун-та, 2006. 153 с.

  36. Бекежанова В.Б. О смене форм неустойчивости стационарного течения двухслойной жидкости в наклонном канале // Изв. РАН. МЖГ. 2011. № 4. С. 24-34. (English version https://doi.org/10.1134/S001546281104003X)

  37. Гончарова О.Н. Групповая классификация уравнений свободной конвекции // Динамика сплошной среды. 1987. Вып. 79. С. 22-35.

  38. Adreev V.K., Stepanova I.V. Ostroumov–Birikh solution of convection equations with nonlinear buoyancy force // Appl. Math. Comput. 2014. Vol. 228. P. 59-67. https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.11.002

  39. Андреев В.К., Бекежанова В.Б. Устойчивость неизотермических жидкостей (обзор) // ПМТФ. 2013. Т. 54, № 2. С. 3-20. (English version https://doi.org/10.1134/S0021894413020016)

  40. Андреев В.К., Степанова И.В. Однонаправленные течения бинарных смесей в модели Обербека-Буссинеска // Изв. РАН. МЖГ. 2016. № 2. С. 13-24. (English version https://doi.org/10.1134/S0015462816020022)

  41. Бирих Р.В., Пухначев В.В., Фроловская О.А. Конвективное течение в горизонтальном канале с неньютоновской реологией поверхности при нестационарном продольном градиенте температуры // Изв. РАН. МЖГ. 2015. № 1. С. 192-198. (English version https://doi.org/10.1134/S0015462815010172)

  42. Гончарова О.Н., Резанова Е.В. Пример точного решения стационарной задачи о двухслойных течениях при наличии испарения на границе раздела // ПМТФ. 2014. Т. 55, № 2. С. 68-79. (English version https://doi.org/10.1134/S0021894414020072)

  43. Шварц К.Г. Плоскопараллельное адвективное течение в горизонтальном слое несжимаемой жидкости с внутренним линейным источником тепла // ПММ. 2018. Т. 82, № 1. С. 25-30. (English version https://doi.org/10.1134/S0015462818040237)

  44. Рафик Ш., М. Наваз М., Мустахсан М. Течение жидкости Кэссона через пористую среду, вызванное некоаксиальным вращением пористого диска и окружающей жидкости // ПМТФ. 2018. Т. 59, № 4. С. 31-38. https://doi.org/10.15372/PMTF20180405

  45. Пухначёв В.В. Нестационарные аналоги решения Бириха // Изв. АлтГУ. 2011. № 1-2(69). С. 62-69.

  46. Шварц К.Г. Плоскопараллельное адвективное течение в горизонтальном слое несжимаемой жидкости с твердыми границами // Изв. РАН. МЖГ. 2014. № 4. С. 26-30. https://doi.org/10.1134/S0015462814040036

  47. Андреев В.К. Решения Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения: Препр. / ИВМ СО РАН. Красноярск, 2010. 24 с.

  48. Pukhnachev V.V. Group-theoretical methods in the convection problems // Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences / Ed. M.D. Todorov, C.I. Christov. American Institute of Physics, 2011. P. 31-42.

  49. Andreev V.K., Gaponenko Ya.A., Goncharova O.N., Pukhnachev V.V. Mathematical models of convection. Berlin, Boston: Berlin Walter De Gryuter Publ., 2012. 417 p.

  50. Hadji L. Nonlinear Stable steady solutions to the Ostroumov problem // Int. J. Heat Mass Tran. 2014. Vol. 82. P. 604-612. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2014.10.071

  51. Привалова В.В., Просвиряков Е.Ю. Нелинейное изобарическое течение вязкой несжимаемой жидкости в тонком слое с проницаемыми границами // Вычис. мех. сплош. сред. 2019. Т. 12, № 2. С. 230-242. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2019.12.2.20

  52. Аристов С.Н., Просвиряков Е.Ю., Спевак Л.Ф. Нестационарная конвекция Бенара–Марангони слоистых течений вязкой несжимаемой жидкости // ТОХТ. 2016. Т. 50, № 2. С. 137-146. https://doi.org/10.7868/S0040357116020019

  53. Брацун Д.А., Мошева Е.А. Особенности формирования волн плотности в двухслойной системе смешивающихся реагирующих жидкостей // Вычисл. мех. сплош. сред. 2018. Т. 11, № 3. С. 302-322. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2018.11.3.23

  54. Marangoni C. Sull’espansione delle goccie d’un liquido galleggiante sulla superficie di altro liquido. Pavia: Tipografia dei Fratelli Fusi, 1865. 66 p.

  55. Аристов С.Н., Просвиряков Е.Ю., Спевак Л.Ф. Нестационарная слоистая тепловая и концентрационная конвекция Марангони вязкой жидкости // Вычисл. мех. сплош. сред. 2015. Т. 8, № 4. C. 445-456. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2015.8.4.38

  56. Bekezhanova V., Goncharova O. Three-dimensional thermocapillary flow regimes with evaporation // J. Phys.: Conf. Ser. 2017. Vol. 894. 012023. https://doi.org/10.1088/1742-6596/894/1/012023

  57. Abdullah A.A., Alraiqib N.M., Lindsay K.A. Modelling the stability of Marangoni convection in a layer of nanofluid // Int. J. Therm. Sci. 2020. Vol. 151. 106228. https://doi.org/10.1016/j.ijthermalsci.2019.106228

  58. Trouette B., Chénier E., Doumenc F., Delcarte C., Guerrier B. Transient Rayleigh-Bénard-Marangoni solutal convection // Phys. Fluid. 2012. Vol. 24. 074108. https://doi.org/10.1063/1.4733439

  59. Kumar A., Prasad S., Pal P., Narayanan S., Mandal D. Circulation inside a methanol – water drop evaporating in a heated atmosphere // Colloids and Interface Science Communications. 2018. Vol. 24. P. 82-86. https://doi.org/10.1016/j.colcom.2018.04.003

  60. Аристов С.Н., Просвиряков Е.Ю. О слоистых течениях плоской свободной конвекции// Нелинейная динамииика. 2013. Т. 9, № 4. С. 651-657.

  61. Бурмашева Н.В., Просвиряков Е.Ю. Крупномасштабная слоистая стационарная конвекция вязкой несжимаемой жидкости под действием касательных напряжений на верхней границе. Исследование поля скоростей // Вестн. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 21, № 1. С. 180-196. https://doi.org/10.14498/vsgtu1527

  62. Бурмашева Н.В., Просвиряков Е.Ю. Точные решения для естественной конвекции слоистых течений вязкой несжимаемой жидкости при задании тангенциальных сил и линейного распределения температуры на границах слоя // DReaM. 2017. № 4. С. 16-31. https://doi.org/10.17804/2410-9908.2017.4.016-031

  63. Горшков А.В., Просвиряков Е.Ю. Слоистая конвекция Бенара-Марангони при теплообмене по закону Ньютона-Рихмана // Компьютерные исследования и моделирование. 2016. Т. 8, № 6. С. 927-940. https://doi.org/10.20537/2076-7633-2016-8-6-927-940

  64. Горшков А.В., Просвиряков Е.Ю. Аналитические решения стационарной сложной конвекции, описывающие поле касательных напряжений разного знака // Тр. ИММ УрО РАН. 2017. Т. 23, № 2. С. 32-41.

  65. Князев Д.В.Плоские течения вязкой бинарной жидкости между подвижными твердыми границами // ПМТФ. 2011. Т. 52, № 2. С. 66-72. https://doi.org/10.1134/S0021894411020088

  66. Goldstein S. Modern developments in fluid mechanics. Oxford: Oxford At The Olarendon Press, 1938. 409 p.

  67. Бурмашева Н.В., Просвиряков Е.Ю. Термокапиллярная конвекция вертикально завихренной жидкости // ТОХТ. 2020. Т. 54, № 1. С. 114-124. https://doi.org/10.31857/S0040357119060034

Опубликован
2020-09-30
Как цитировать
Бурмашева, Н. В., & Просвиряков, Е. Ю. (2020). Точное решение для установившихся конвективных концентрационных течений типа Куэтта. Вычислительная механика сплошных сред, 13(3), 337-349. https://doi.org/https://doi.org/10.7242/1999-6691/2020.13.3.27
Раздел
Статьи