Построение модели изгиба микрополярных упругих тонких стержней с круговой осью и ее реализация методом конечных элементов

  • Самвел Оганесович Саркисян Ширакский государственный университет
  • Мелине Вардановна Хачатрян Ширакский государственный университет
Ключевые слова: микрополярная теория упругости, стержень с круговой осью, плоский изгиб, одномерная модель, метод конечных элементов

Аннотация

Обсуждается проблема перехода от системы двумерных уравнений микрополярной (моментной) теории упругости в тонкой криволинейной области к одномерной системе уравнений деформирования микрополярного упругого тонкого стержня с круговой осью (имеется в виду изогнутый стержень, со срединной поверхностью в виде дуги окружности). При осуществлении этого перехода применяются так называемые обобщенные на микрополярный случай гипотезы Тимошенко. Исходя из них, построена прикладная модель, описывающая напряженно-деформированное состояние при изгибе микрополярного (с независимыми полями перемещений и вращений) упругого тонкого стержня с круговой осью. Показано, что модель включает закон сохранения энергии, энергетические теоремы, вариационные принципы. Все основные функционалы построенной модели получены из функционала двумерной микрополярной теории упругости, содержащего производные перемещений и поворотов только первого порядка. Для решения граничных задач статики и динамики на основе прикладной модели изгиба микрополярного упругого тонкого стержня с круговой осью разрабатывается соответствующий вариант метода конечных элементов (МКЭ). Сформулированы основные понятия и этапы реализации модифицированного МКЭ: дискретизация, выбор основных узловых неизвестных, аппроксимация искомого решения и построение основных разрешающих уравнений. Приведены примеры конечно-элементных решений задач статического деформирования и задач о собственных колебаниях стержней с круговой осью в рамках как микрополярной, так и классической теории упругости. Выполнен сравнительный анализ решений, в результате которого установлены некоторые эффективные свойства стержней с круговой осью при рассмотрении их деформаций согласно микрополярной теории упругости.

Литература


  1. Пономарев С.Д., Бидерман В.Л., Лихарев К.К., Макушин В.М., Малинин Н.Н., Феодосьев В.И. Расчеты на прочность в машиностроении. Т. 1. Теоретические основы и экспериментальные методы. Расчеты стержневых элементов конструкций при статической нагрузке. М.: Машгиз, 1956. 884 с.

  2. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник / Под общ. ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. Т. 1. М.: Машиностроение, 1968. 832 с.

  3. Кузьмин М.А., Лебедев Д.Л., Попов Б.Г. Расчеты на прочность элементов многослойных композитных конструкций. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. 341 с.

  4. Саркисян С.О., Хачатрян М.В. Математическая модель плоского кривого (кругового) упругого стержня по классической теории упругости с учетом поперечных сдвиговых деформаций // Доклады НАН Армении. 2016. Т. 116. № 1. С. 34-42.

  5. Lakes R.S., Drugan W.J. Bending of a Cosserat elastic bar of square cross section: Theory and experiment // J. Appl. Mech. 2015. Vol. 82. 091002. https://doi.org/10.1115/1.4030626

  6. Саркисян С.О., Хачатрян М.В. Математическая модель статической деформации микрополярного упругого стержня с круговой осью по теории со стесненным вращением и метод конечных элементов // Изв. НАН РА. Механика. 2019. Т. 72, № 3.С. 39-55

  7. Nakamura S., Benedict R.L., Lakes R.S. Finite element method for orthotropic micropolar elasticity // Int. J. Eng. Sci. 1984. Vol. 22. P. 319-330. https://doi.org/10.1016/0020-7225(84)90013-2

  8. Корепанов В.В., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Численное исследование двумерных задач несимметричной теории упругости // Изв. РАН. МТТ. 2008. № 2. С. 63-70. (English version https://doi.org/10.3103/S0025654408020064)

  9. Корепанов В.В., Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Аналитические и численные решения в рамках континуума Коссера как основа для постановки экспериментов по обнаружению моментных эффектов в материалах // Вычисл. мех. сплош. сред. 2009. Т. 2, № 4. С. 76-91. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2009.2.4.33

  10. Sargsyan S.H., Zhamakochyan K.A. Finite element method for solving boundary value problems of bending of micropolar elastic thin bars // Proc. of the XLII Summer school-conference “Advanced Problems in Mechanics”. APM-2014, St.-Petersburg, Russia, June 30-July 5, 2014. P. 427-434.

  11. Жамакочян К.А., Саркисян С.О. Метод конечных элементов в расчетах на изгиб микрополярных упругих тонких пластин // Вычисл. мех. сплош. сред. 2016. Т. 9, № 3. С. 375-383. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2016.9.3.31

  12. Sargsyan S.H. Effective manifestations of characteristics of strength and rigidity of micropolar elastic thin bars // Journal of Materials Science and Engineering. 2012. Vol. 2. № 1. P. 100-110. https://www.airitilibrary.com/Publication/alDetailedMesh?DocID=19348959-201201-201205080001-201205080001-100-110

  13. Саркисян С.О. Математическая модель микрополярных упругих тонких пластин и особенности их прочностных и жесткостных характеристик // ПМТФ. 2012. Т. 53, № 2. С. 148-156. (English version https://doi.org/10.1134/S0021894412020162)

  14. Саркисян С.О. Общая теория микрополярных упругих тонких оболочек // Физ. мезомех. 2011. Т. 14, № 1. С. 55-66. (English version https://doi.org/10.1134/S1029959912010079)

  15. Nowacki W. Theory of asymmetric elasticity. Pergamon Press, 1986. 383 p.

Опубликован
2020-09-30
Как цитировать
Саркисян, С. О., & Хачатрян, М. В. (2020). Построение модели изгиба микрополярных упругих тонких стержней с круговой осью и ее реализация методом конечных элементов. Вычислительная механика сплошных сред, 13(3), 256-268. https://doi.org/https://doi.org/10.7242/1999-6691/2020.13.3.20
Раздел
Статьи