Использование метода экспоненциальных временных разностных схем для жестких систем с недиагональной линейной частью

  • Эвелина Владимировна Пермякова Пермский государственный национальный исследовательский университет
  • Денис Сергеевич Голдобин Институт механики сплошных сред УрО РАН
Ключевые слова: методы экспоненциальных временных разностных схем, методы Кокса-Мэттьюса, жесткие системы, недиагональные уравнения

Аннотация

Методы экспоненциальных временных разностных схем дают устойчивые явные схемы для систем с быстро затухающими или осциллирующими модами («жестких» систем), снимая ограничение на величину шага по времени. Кроме того, использование этих методов позволяет радикально снижать скорость накопления погрешности при численном интегрировании консервативных систем. Особенно большой выигрыш в скорости счета получается для уравнений в частных производных с высоким порядком пространственных производных. Вместе с тем задача определения коэффициентов разностных схем этих методов становится крайне трудоемкой или аналитически неразрешимой при недиагональном виде принципиальной линейной части системы уравнений. В работе предлагается подход, при котором коэффициенты схем вычисляются путем прямого численного интегрирования некоторых вспомогательных задач на коротком временном интервале - одном шаге схемы. Подход является универсальным, его использование проиллюстрировано на четырех примерах: аналитически решаемой системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, одномерной системе с реакцией-диффузией в нестационарных условиях, двухмерной системе с реакцией-диффузией при стационарных и нестационарных условиях, одномерном уравнении Кана-Хилларда с постоянными коэффициентами. Использование метода экспоненциальных разностей по времени типа Рунге-Кутты второго порядка дает выигрыш скорости счета для уравнения диффузионного типа при оптимизации программы. Без оптимизации выигрыш растет на порядок по пространственному шагу с каждым новым порядком старшей пространственной производной и появляется, начиная с третьего порядка пространственной производной. Использование метода делает возможными исследования аналога локализации Андерсона в двух- и трехмерных активных средах, а также позволяет получить приемлемую производительность при прямом численном моделировании задач динамики плотности распределения активных броуновских частиц общего вида.

Литература


  1. Kuramoto Y., Tsuzuki T. Persistent propagation of concentration waves in dissipative media far from thermal equilibrium // Prog. Theor. Phys. 1976. Vol. 55, no. 2. P. 356-369. https://doi.org/10.1143/PTP.55.356

  2. Knobloch E. Pattern selection in long-wavelength convection // Phys. Nonlinear Phenom. 1990. Vol. 41, no. 3. P. 450-479.            https://doi.org/10.1016/0167-2789(90)90008-D

  3. Shtilman L., Sivashinsky G. Hexagonal structure of large-scale Marangoni convection // Phys. Nonlinear Phenom. 1991. Vol. 52, no. 2-3. P. 477-488. https://doi.org/10.1016/0167-2789(91)90140-5

  4. Schöpf W., Zimmermann W. Multicritical behaviour in binary fluid convection // Europhys. Lett. 1989. Vol. 8, no. 1. P. 41-46. https://doi.org/10.1209/0295-5075/8/1/008

  5. Schöpf W., Zimmermann W. Convection in binary fluids: Amplitude equations, codimension-2 bifurcation, and thermal fluctuations // Phys. Rev. E. 1993. Vol. 47, no. 3. P. 1739-1764. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.47.1739

  6. Goldobin D.S., Shklyaeva E.V. Large-scale thermal convection in a horizontal porous layer // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 78, no. 2. 027301. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.78.027301

  7. Matthews P.C., Cox S.M. One-dimensional pattern formation with Galilean invariance near a stationary bifurcation // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62, no. 2. R1473. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.62.R1473

  8. Matthews P.C., Cox S.M. Pattern formation with a conservation law // Nonlinearity. 2000. Vol. 13, no. 4. P. 1293-1320. https://doi.org/10.1088/0951-7715/13/4/317

  9. Shklyaev S., Khenner M., Alabuzhev A.A. Oscillatory and monotonic modes of long-wave Marangoni convection in a thin film // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82, no. 2. 025302. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.82.025302

  10. Samoilova A.E., Shklyaev S. Oscillatory Marangoni convection in a liquid-gas system heated from below // Eur. Phys. J. Spec. Top. 2015. Vol. 224, no. 2. P. 241-248. https://doi.org/10.1140/epjst/e2015-02356-4

  11. Straube A.V., Pikovsky A. Mixing-induced global modes in open active flow // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 99, no. 18. 184503. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.99.184503

  12. Брацун Д.А., Мошева Е.А. Особенности формирования волн плотности в двухслойной системе смешивающихся реагирующих жидкостей // Вычисл. мех. сплош. сред. 2018. Т. 11, № 3. С. 302-322.           https://doi.org/10.7242/1999-6691/2018.11.3.23

  13. Циберкин К.Б. Двумерные течения в каналах ограниченной ширины, частично заполненных пористой средой // Вычисл. мех. сплош. сред. 2018. Т. 11, № 4. C. 438-447. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2018.11.4.34

  14. Goldobin D.S., Kovalevskaya K.V., Lyubimov D.V. Elastic and inelastic collisions of interfacial solitons and integrability of two-layer fluid system subject to horizontal vibrations // Europhys. Lett. 2014. Vol. 108. 54001. https://doi.org/10.1209/0295-5075/108/54001

  15. Goldobin D.S., Pimenova A.V., Kovalevskaya K.V., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P. Running interfacial waves in two-layer fluid system subject to longitudinal vibrations // Phys. Rev. E. 2015. Vol. 91, no. 5. 053010. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.91.053010

  16. Пелиновский Е.Н., Шургалина Е.Г. Формирование волн-убийц в солитонном газе, описываемом модифицированным уравнением Кортевега-де Вриза // ДАН. 2016. Т. 470, № 1. С. 26-29.     https://doi.org/10.7868/S0869565216250101

  17. Пелиновский Е.Н., Диденкулова И.И., Шургалина Е.Г. Динамика волн в каналах переменного сечения // Морской гидрофизический журнал. 2017. № 3. С. 22-31. https://doi.org/10.22449/0233-7584-2017-3-22-31

  18. Шургалина Е.Г., Пелиновский Е.Н., Горшков К.А. Эффект отрицательной скорости частиц в солитонном газе в рамках уравнений типа Кортевега-де Вриза // Вестник Московского университета. Серия 3: Физика. Астрономия. 2017. № 5. С. 10-16. (English version https://doi.org/10.3103/S0027134917050101)

  19. Слюняев А.В. Анализ нелинейного спектра интенсивного морского волнения с целью прогноза экстремальных волн // Изв. вузов. Радиофизика. 2018. Т. 61, № 1. С. 1-23. (English version https://doi.org/10.1007/s11141-018-9865-8)

  20. Goldobin D.S., Shklyaeva E.V. Localization and advectional spreading of convective flows under parametric disorder // J. Stat. Mech.: Theor. Exp. 2013. P09027. https://doi.org/10.1088/1742-5468/2013/09/P09027

  21. Goldobin D.S. Two scenarios of advective washing-out of localized convective patterns under frozen parametric disorder // Phys. Scr. 2019. Vol. 94. 014011. https://doi.org/10.1088/1402-4896/aaeefa

  22. Goldobin D.S., Shklyaeva E.V. Diffusion of a passive scalar by convective flows under parametric disorder // J. Stat. Mech.: Theor. Exp. 2009. P01024. https://doi.org/10.1088/1742-5468/2009/01/P01024

  23. Goldobin D.S. Advectional enhancement of eddy diffusivity under parametric disorder // Phys. Scr. 2010. Vol. T142. 014050. https://doi.org/10.1088/0031-8949/2010/T142/014050

  24. Pikovsky A., Shepelyansky D. Destruction of Anderson localization by a weak nonlinearity // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100, no. 9. 094101. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.100.094101

  25. Теймуразов А.С., Степанов Р.А., Verma M.K., Barman S., Kumar A., Shubhadeep S. Прямое численное моделирование однородной изотропной спиральной турбулентности в пакете ТARANG // Вычисл. мех. сплош. сред. 2017. Т. 10, № 4. С. 474-483. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2017.10.4.39

  26. Tyulkina I.V., Goldobin D.S., Klimenko L.S., Pikovsky A.S. Dynamics of noisy oscillator populations beyond the Ott-Antonsen ansatz // Phys. Rev. Lett. 2018. Vol. 120, no. 26. 264101. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.120.264101

  27. Тюлькина И.В., Голдобин Д.С., Клименко Л.С., Пиковский А.С. Двухгрупповые решения для динамики ансамблей фазовых систем типа Отта-Антонсена // Изв. вузов. Радиофизика. 2018. Т. 61, № 8-9. С. 718-728. (English version https://doi.org/10.1007/s11141-019-09924-7)

  28. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Разностные методы решения задач теплопроводности: учебное пособие. Томск: Изд-во ТПУ, 2007. 172 с.

  29. Cox S.M., Matthews P.C. Exponential time differencing for stiff systems // J. Comput. Phys. 2002. Vol. 176, no. 2. P. 430-455. https://doi.org/10.1006/jcph.2002.6995

  30. Hochbruck M., Ostermann A. Explicit exponential Runge-Kutta methods for semilinear parabolic problems // SIAM J. Numer. Anal. 2005. Vol. 43, no. 3. P. 1069-1090. https://doi.org/10.1137/040611434

  31. Оволаби К.М. Математическое исследование систем с двумя переменными с использованием адаптивных численных методов // Сиб. журн. вычисл. матем. 2016. Т. 19, № 3. C. 281-295. https://doi.org/10.15372/SJNM20160304

  32. Goldobin D.S. Relationships between the distribution of Watanabe-Strogatz variables and circular cumulants for ensembles of phase elements // Fluct. Noise Lett. 2019. Vol. 18, no. 2. 1940002. https://doi.org/10.1142/S0219477519400029

  33. Goldobin D.S., Dolmatova A.V. Ott-Antonsen ansatz truncation of a circular cumulant series // Phys. Rev. Research. 2019. Vol. 1, no. 3, 033139. https://doi.org/10.1103/PhysRevResearch.1.033139

  34. Gardiner C.W. Handbook of stochastic methods. Berlin: Springer, 1983.

  35. Wilemski G. On the derivation of Smoluchowski equations with corrections in the classical theory of Brownian motion // J. Stat. Phys. 1976. Vol. 14, no. 2. P. 153-169. https://doi.org/10.1007/BF01011764

  36. Gardiner C.W. Adiabatic elimination in stochastic systems. I. Formulation of methods and application to few-variable systems // Phys. Rev. A. 1984. Vol. 29, no. 5. P. 2814-2822. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.29.2814

  37. Milster S., Nötel J., Sokolov I.M., Schimansky-Geier L. Eliminating inertia in a stochastic model of a micro-swimmer with constant speed // Eur. Phys. J. Spec. Top. 2017. Vol. 226, no. 9. P. 2039-2055. https://doi.org/10.1140/epjst/e2017-70052-8

  38. Murray J.D. Mathematical biology. Berlin: Springer, 1993. Chapter 11. https://doi.org/10.1007/978-3-662-08542-4

  39. Sibly R.M.Barker D., Denham M.C., Hone J., Pagel M. On the regulation of populations of mammals, birds, fish, and insects // Science. 2005. Vol. 309, no. 5734. P. 607-610. https://doi.org/10.1126/science.1110760

  40. Doncaster C.P. Comment on "On the regulation of populations of mammals, birds, fish, and insects" III // Science. 2006. Vol. 311, no. 5764. P. 1100c. https://doi.org/10.1126/science.1122383

  41. Anderson P.W. Absence of diffusion in certain random lattices // Phys. Rev. 1958. Vol. 109. P. 1492-1505. https://doi.org/10.1103/PhysRev.109.1492

  42. Мотт Н. Электроны в неупорядоченных структурах, пер. с англ. М.: Мир, 1969. 172 с. (English version https://doi.org/10.1080/00018736700101265)

  43. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of a nonuniform system. I. Interfacial free energy // J. Chem. Phys. 1958. Vol. 28, no. 2. P. 258-267. https://doi.org/10.1063/1.1744102

Опубликован
2019-12-30
Как цитировать
Пермякова, Э. В., & Голдобин, Д. С. (2019). Использование метода экспоненциальных временных разностных схем для жестких систем с недиагональной линейной частью. Вычислительная механика сплошных сред, 12(4), 403-414. https://doi.org/https://doi.org/10.7242/1999-6691/2019.12.4.34
Раздел
Статьи