О фундаментальном решении задачи теплопереноса в одномерных гармонических кристаллах

  • Ольга Сергеевна Лобода Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого; Институт проблем машиноведения РАН
  • Екатерина Александровна Подольская Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого; Институт проблем машиноведения РАН
  • Денис Валерьевич Цветков Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
  • Антон Мирославович Кривцов Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого; Институт проблем машиноведения РАН
Ключевые слова: тепловые процессы, кинетическая температура, одномерный кристалл, фундаментальное решение, баллистическое распространение тепла, групповая скорость

Аннотация

Рассматриваются нестационарные тепловые процессы в низкоразмерных структурах. Понимание теплопередачи на микроуровне необходимо для получения связи между микро- и макроскопическим описанием твердых тел. На макроскопическом уровне распространение тепла описывается законом Фурье. Однако на микроскопическом уровне аналитические, численные и экспериментальные исследования показывают существенные отклонения от этого закона. В работе используется созданная ранее модель теплопереноса на микроуровне, имеющая баллистический характер. Изучается влияние не ближайших соседей на тепловые процессы в дискретных средах, а также рассматривается распространение тепла в многоатомных решетках. Для описания эволюции начального теплового возмущения проведен анализ дисперсионных характеристик и групповых скоростей в одномерном кристалле для двухатомной цепочки с чередующимися массами или жесткостями и одноатомной цепочки с учетом взаимодействия со вторыми соседями. Получено и исследовано фундаментальное решение задачи распространения тепла для соответствующих моделей кристаллов. Фундаментальное решение позволяет получить описание волн, бегущих от точечного источника, и служит основой для построения всех остальных решений. Для обеих цепочек решение состоит из двух фронтов, двигающихся друг за другом с различными скоростями и характеристиками интенсивности. Приведены количественные оценки коэффициентов интенсивности фронта тепловой волны, проанализирована динамика изменения скоростей и интенсивностей волн в зависимости от параметров задачи. Выявлено два механизма эволюции фронта тепловых волн в одномерных дискретных системах. Представленные результаты могут быть использованы для корректной интерпретации экспериментов по нестационарному баллистическому теплопереносу в кристаллах.

Литература


  1. Peierls R.E. Quantum theory of solids. Oxford University Press, 1965. 238 p.

  2. Ziman J.M. Electrons and phonons. The theory of transport phenomena in solids. Oxford University Press, New York, 1960. 566 p.

  3. Askar A. Lattice dynamical foundations of continuum theories. Word Scientific, 1985. 190 p.

  4. Maugin G.A. Nonlinear waves in elastic crystals. Oxford University Press, 1999. 323 p.

  5. Askes H., Metrikine A.V. Higher-order continua derived from discrete media: continualisation aspects and boundary conditions // Int. J. Solid. Struct. 2005. Vol. 42. P. 187-202. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2004.04.005

  6. Индейцев Д.А., Сергеев А.Д. Корреляция между свойствами частот и форм свободных колебаний твердотельной цепочки с моментными связями // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. № 2. C. 281-290. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2017.212

  7. Морозов Н.Ф., Муратиков К.Л., Семенов Б.Н., Индейцев Д.А., Вавилов Д.С. О термоакустике проводящих материалов при лазерном воздействии // ДАН. 2019. Т. 485, № 4. С. 438-441. https://doi.org/10.31857/S0869-56524854438-441

  8. Metrikine A.V., Askes H. An isotropic dynamically consistent gradient elasticity model derived from a 2D lattice // Phil. Mag. 2006. Vol. 86. P. 3259-3286. https://doi.org/10.1080/14786430500197827

  9. Potapov A.I., Pavlov I.S., Gorshkov K.A., Maugin G.A. Nonlinear interactions of solitary waves in a 2D lattice // Wave Motion. 2001. Vol. 34. P. 83-96. https://doi.org/10.1016/S0165-2125(01)00061-0

  10. Pavlov I.S., Potapov A.I., Maugin G.A. A 2D granular medium with rotating particles // Int. J. Solid. Struct. 2006. Vol. 43. P. 6194-6207. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2005.06.012

  11. Golovnev I.F., Golovneva E.I., Fomin V.M. Investigation of thermal instability in nano-dimensional systems by molecular dynamics method // AIP Conference Proceedings. 2018. Vol. 2027. 030143. https://doi.org/10.1063/1.5065237

  12. Vasiliev A.A., Dmitriev S.V., Miroshnichenko A.E. Multi-field continuum theory for medium with microscopic rotations // Int. J. Solid. Struct. 2005. Vol. 42. P. 6245-6260. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2005.03.041

  13. Vasiliev A.A., Dmitriev S.V., Miroshnichenko A.E. Mutlti-field approach in mechanics of structured solids // Int. J. Solid. Struct. 2010. Vol. 47. P. 510-525. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2009.10.016

  14. Ле-Захаров А.А., Кривцов А.М. Исследование процесса теплопроводности в кристаллах с дефектами методом молекулярной динамики // ДАН. 2008. Т. 420, № 1. С. 46-49. (English version https://doi.org/10.1134/S1028335808050066)

  15. Chandrasekharaiah D.S. Thermoelasticity with second sound: A review // Appl. Mech. Rev. 1986. Vol. 39. P. 355-376. https://doi.org/10.1115/1.3143705

  16. Poletkin K.V., Gurzadyan G.G., Shang J., Kulish V. Ultrafast heat transfer on nanoscale in thin gold films // Appl. Phys. B. 2012. Vol. 107. P. 137-143. https://doi.org/10.1007/s00340-011-4862-z

  17. Rieder Z., Lebowitz J.L., Lieb E. Properties of a harmonic crystal in a stationary nonequilibrium state // J. Math. Phys. 1967. Vol. 8. P. 1073-1078. https://doi.org/10.1063/1.1705319

  18. Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. Fast and slow thermal processes in harmonic scalar lattices // J. Phys.: Condens. Matter. 2017. Vol. 29. 505401. https://doi.org/10.1088/1361-648X/aa98eb

  19. Dhar A. Heat transport in low-dimensional systems // Adv. Phys. 2008. Vol. 57. P. 457-537. https://doi.org/10.1080/00018730802538522

  20. Thermal transport in low dimensions. From statistical physics to nanoscale heat transfer / Ed. S. Lepri. Springer International Publishing, 2016. 422 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-29261-8

  21. Гузев М.А. Закон Фурье для одномерного кристалла // ДВМЖ. 2018. № 1. С. 34‑38.

  22. Соколов А.А., Кривцов А.М., Müller W.H. Локализованные тепловые возмущения в одномерном гармоническом кристалле: решения уравнения аномальной теплопроводности // Физ. мезомех. 2017. Т. 20, № 3. С. 63-68. (English version https://doi.org/10.1134/S1029959917030067)

  23. Кузькин В.А., Кривцов А.М. Высокочастотные тепловые процессы в гармонических кристаллах // ДАН. 2017. Т. 472, № 5. С. 529-533. https://doi.org/10.7868/S0869565217050103

  24. Кузькин В.А., Кривцов А.М. Аналитическое описание переходных тепловых процессов в гармонических кристаллах // ФТТ. 2017. Т. 59, № 5. С. 1023-1035. https://doi.org/10.21883/FTT.2017.05.44396.240

  25. Кривцов А.М. Колебания энергий в одномерном кристалле // ДАН. 2014. Т. 458, № 3. С. 279-281. https://doi.org/10.7868/S0869565214270097

  26. Кривцов А.М. Распространение тепла в бесконечном одномерном гармоническом кристалле // ДАН. 2015. Т. 464, № 2. С. 162-166. https://doi.org/10.7868/S0869565215260102

  27. Krivtsov A.M. The ballistic heat equation for a one-dimensional harmonic crystal // Dynamical processes in generalized continua and structures / Ed. H. Altenbach, A. Belyaev, V. Eremeyev, A. Krivtsov, A. Porubov. Springer, 2019. P. 345‑358. https://doi.org/10.1007/978-3-030-11665-1_19

  28. Gavrilov S.N., Krivtsov A.M. Thermal equilibration in a one-dimensional damped harmonic crystal // Phys. Rev. E. 2019. Vol. 100. 022117. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.100.022117

  29. Berinskii I.E., Kuzkin V.A. Equilibration of energies in a two-dimensional harmonic graphene lattice // Phil. Trans. Math. Phys. Eng. Sci. 2019. Vol. 378. 20190114. https://doi.org/10.1098/rsta.2019.0114

  30. Kosevich A.M., Savotchenko S.E. Peculiarities of dynamics of one-dimensional discrete systems with interaction extending beyond nearest neighbors and the role of higher dispersion in soliton dynamics // Low Temp. Phys. 1999. Vol. 25. P. 550‑557. https://doi.org/10.1063/1.593783

  31. Michelitsch T.M., Collet B., Wang X. Nonlocal constitutive laws generated by matrix functions: Lattice dynamics models and their continuum limits // Int. J. Eng. Sci. 2014. Vol. 80. P. 106-123. https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2014.02.029

  32. Porubov A.V., Krivtsov A.M., Osokina A.E. Two-dimensional waves in extended square lattice, available online // Int. J. Non Lin. Mech. 2018. Vol. 99. P. 281-287. https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2017.12.008

  33. Podolskaya E.A., Krivtsov A.M., Tsvetkov D.V. Anomalous heat transfer in one-dimensional diatomic harmonic crystal // Materials Physics and Mechanics. 2018. Vol. 40. P. 172-180. https://doi.org/10.18720/MPM.4022018_5

  34. Loboda O., Krivtsov A., Porubov A., Tsvetkov D. Thermal processes in a one-dimensional crystal with regard for the second coordination sphere // ZAMM. 2019. Vol. 99. e201900008. https://doi.org/10.1002/zamm.201900008

  35. Kuzkin V.A. Thermal equilibration in infinite harmonic crystals // Continuum Mech. Thermodyn. 2019. Vol. 31. P. 1401‑423. https://doi.org/10.1007/s00161-019-00758-2

  36. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщённые функции и действия над ними. М.: Физматлит, 1959. 471 с.

  37. Ashcroft N., Mermin N. Solid state physics. Saunders college Publishing, 1976. 848 p.

  38. Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов. Т. IV. Лекции по колебаниям. М.: Изд-во АН СССР, 1955. 512 с.

Опубликован
2019-12-30
Как цитировать
Лобода, О. С., Подольская, Е. А., Цветков, Д. В., & Кривцов, А. М. (2019). О фундаментальном решении задачи теплопереноса в одномерных гармонических кристаллах. Вычислительная механика сплошных сред, 12(4), 390-402. https://doi.org/https://doi.org/10.7242/1999-6691/2019.12.4.33
Раздел
Статьи