Об устойчивости подкрепленных арок

  • Владимир Николаевич Тарасов Физико-математический институт ФИЦ «Коми НЦ УрО РАН»
Ключевые слова: устойчивость, критическая сила, арка, кольцо, вариационная задача, нелинейное программирование, односторонние ограничения, бифуркация, квадратичная форма, собственные значения, нерастяжимые нити

Аннотация

Обсуждаются решения новых задач устойчивости упругих систем при наличии односторонних ограничений на перемещения. К подобным системам относятся и подкрепленные круговые арки. Проблемы их устойчивости при действии равномерного давления являются классическими и широко отражены в литературе. В данной работе рассматривается устойчивость круговых арок, подкрепленных нерастяжимыми нитями, которые не выдерживают сжимающих усилий. Оба конца нити зафиксированы на оси арки так, что при деформировании расстояние между точками прикрепления не может увеличиваться. Желание выяснить, как ведут себя упругие системы при наличии односторонних ограничений на перемещения, приводит к необходимости анализа точек бифуркации нелинеаризуемых уравнений, описывающих состояние системы, или к отысканию параметров, при которых моделирующая вариационная задача с ограничениями на искомые функции в форме неравенств имеет неединственное решение. При численном подходе эта задача сводится к нахождению и исследованию точек бифуркации решений задачи нелинейного программирования. При этом определение точек бифуркации заключается в идентификации условной положительной определенности квадратичных форм на конусах. Существуют критерии условной положительной определенности квадратичных форм на конусах в важном частном случае, когда конус есть положительный ортант в евклидовом пространстве. Хотя применение критериев имеет следствием вычисление большого количества определителей, что в отношении затрат на решение крайне неэффективно, однако при небольшом числе переменных их использование практикуется, например, при решении задач устойчивости по Ляпунову. В данной работе для решения задачи невыпуклого квадратичного программирования, которая встает при исследовании устойчивости упругих систем с односторонними ограничениями на перемещения, предлагается и обосновывается метод перебора вариантов. Полученные результаты могут быть полезными для повышения несущей способности при проектировании арок и арочных систем.

Литература


  1. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. М.: Мир, 1989. 494 с.

  2. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М. Наука, 1980. 382 с.

  3. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. 211 с.

  4. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

  5. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы. М.: СКАД СОФТ, 2007. Т. 1. 653 с.

  6. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. М.: Мир, 1971. 192 с.

  7. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1967. 376 с.

  8. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н., Холмогоров Д.В. Закритическое поведение продольно сжатого стержня с жесткими ограничениями на прогиб // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 1. С. 156-160. (English version DOI)

  9. Алфутов Н.А., Еремичев А.Н. Влияние односторонних связей на устойчивость цилиндрических оболочек при осевом сжатии // Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1989. С. 179-180.

  10. Тарасов В.Н. Об устойчивости упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения // Тр. ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11, № 1. С. 177-188.

  11. Тарасов В.Н. Методы оптимизации в исследовании конструктивно-нелинейных задач механики упругих систем. Сыктывкар: Коми НЦ УрО РАН, 2013. 238 с.

  12. Андрюкова В.Ю. Некоторые конструктивно-нелинейные задачи устойчивости упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения // Вычисл. мех. сплош. сред. 2014. Т. 7, № 4. С. 412-422. DOI

  13. Николаи Е.Л. Труды по механике. М.: Гостехиздат, 1955. 584 с.

  14. Динник А.Н. Устойчивость арок. М.: Гостехиздат, 1946. 128 с.

  15. Li Z., Zheng J., Chen Y. Nonlinear buckling of thin-walled FGM arch encased in rigid confinement subjected to external pressure // Eng. Struct. 2019. Vol. 186. P. 86-95. DOI

  16. Дмитриев А.Н., Семенов А.А., Лапин В.В. Устойчивость равновесия упругих арок с учетом искривления оси // СУЗИС. 2018. № 4(67). С. 19-31. URL: http://unistroy.spbstu.ru/index_2018_67/2_67.pdf

  17. Xu Y., Gui X., Zhao B., Zhou R. In-plane elastic stability of arches under a radial concentrated load // Engineering. 2014. Vol. 6. P. 572-583. DOI

  18. Han Q., Cheng Y., Lu Y., Li T., Lu P. Nonlinear buckling analysis of shallow arches with elastic horizontal supports // Thin-Walled Structures. 2016. Vol. 109. P. 88-102. DOI

  19. Silveria R.A.M., Nogueira C.L., Goncalves P.B. A numerical approach for equilibrium and stability analysis of slender arches and rings under contact constraints // Int. J. Solid Struct. 2013. Vol. 50. P. 147-159. DOI

  20. Hu C.-F., Pi Y.-L., Gao W., Li L. In-plane non-linear elastic stability of parabolic arches with different rise-to-span ratios // Thin-Walled Structures. 2018. Vol. 129. P. 74-84. DOI

  21. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах // УМН. 1996. Т. 51. Вып. 1(307). С. 101-132. DOI

  22. Крепс В.Л. О квадратичных формах, неотрицательных на ортанте // ЖВММФ. 1984. Т. 24, № 4. С. 497-503. (English version DOI)

  23. Рапопорт Л.Б. Устойчивость по Ляпунову и знакоопределенность квадратичной формы на конусе // ПММ. 1986. Т. 50. Вып. 4. С. 674-679. (English version DOI)

  24. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

Опубликован
2019-06-30
Как цитировать
Тарасов, В. Н. (2019). Об устойчивости подкрепленных арок. Вычислительная механика сплошных сред, 12(2), 202-214. https://doi.org/https://doi.org/10.7242/1999-6691/2019.12.2.18
Раздел
Статьи