Вариационные многомасштабные методы конечных элементов для нелинейного уравнения конвекции-диффузии-реакции

  • Максим Сергеевич Желнин Институт механики сплошных сред УрО РАН
  • Анастасия Андреевна Костина Институт механики сплошных сред УрО РАН
  • Олег Анатольевич Плехов Институт механики сплошных сред УрО РАН
Ключевые слова: уравнение конвекции-диффузии-реакции, стабилизированный метод конечных элементов, вариационный многомасштабный метод, осцилляции численного решения

Аннотация

Работа посвящена построению вариационных многомасштабных методов конечных элементов для численного решения двумерных краевых задач с сингулярно-возмущенным нестационарным нелинейным уравнением конвекции-диффузии-реакции. Решения данных задач могут быстро изменяться в тонких слоях, что при применении стандартной расчетной схемы Галёркина приводит к возникновению в этих областях нефизических осцилляций. В вариационных многомасштабных методах выполняется разложение исходной задачи на сеточную и подсеточную, что позволяет учесть особенности задачи на масштабах, меньших размера элемента сетки. В данной работе рассматриваются два многомасштабных метода: VMM-ASA (Variational Multiscale Method with Algebraic Sub-scale Approximation) и RFB (Residual-Free Bubbles) метод. В первом из них подсеточная задача аппроксимируется с использованием невязки сеточного уравнения и стабилизирующих параметров. Во втором подсеточная задача решается приближенно на основе аппроксимационных функций специального вида. Постановки сеточной и подсеточной задач определяются посредством линеаризации исходной задачи по подсеточной компоненте. Компьютерная реализация методов выполнена в коммерческом пакете конечно-элементного моделирования. Эффективность предложенных методов исследована путем решения модельной краевой задачи с нелинейным уравнением. Рассмотрены случаи различной величины коэффициента диффузии. В результате вычислительных экспериментов показано, что по сравнению со стандартной расчетной схемой Галёркина многомасштабные методы дают возможность достигать более устойчивого численного решения как с меньшим количеством осцилляций, так и их меньшей амплитудой. При малой величине коэффициента диффузии, когда схема Галёркина расходится, стабилизированные методы обеспечивают приемлемое численное решение на достаточно грубой сетке.

Литература


  1. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 416 с.

  2. Костина А.А., Желнин М.С., Плехов О.А. Исследование особенностей движения нефти в пористой среде в процессе парогравитационного дренажа // Вестник Пермского научного центра. 2018. № 3. С. 6-16. (English version DOI)

  3. Vilarrasa V., Olivella S., Carrera J., Rutqvist J. Long term impacts of cold CO2 injection on the caprock integrity // Int. J. Greenh. Gas Con. 2014. Vol. 24. P. 1-13. DOI

  4. Zhou M.M., Meschke G. A three‐phase thermo‐hydro‐mechanical finite element model for freezing soils // Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech. 2013. Vol. 37. P. 3173-3193. DOI

  5. Vitel M., Rouabhi A., Tijani M., Guérin F. Thermo-hydraulic modeling of artificial ground freezing: Application to an underground mine in fractured sandstone // Computers and Geotechnics. 2016. Vol. 75. P. 80-92. DOI

  6. Chen W., Tan X., Yu H., Wu G., Jia S. A fully coupled thermo-hydro-mechanical model for unsaturated porous media // JRMGE. 2009. Vol. 1. P. 31-40. DOI

  7. Lin B., Chen S., Jin Y. Evaluation of reservoir deformation induced by water injection in SAGD wells considering formation anisotropy, heterogeneity and thermal effect // J. Petrol. Sci. Eng. 2017. Vol. 157. P. 767-779. DOI

  8. Roos H.G., Stynes M., Tobiska L. Robust numerical methods for singularly perturbed differential equations: Convection-diffusion-reaction and flow problems. Springer, 2008. 628 p.

  9. Brooks A.N., Hughes T.J.R. Streamline upwind/Petrov-Galerkin formulations for convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier-Stokes equations // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1982. Vol. 32. P. 199-259. DOI

  10. Hughes T.J.R., Mallet M. A new finite element formulation for computational fluid dynamics: III. The generalized streamline operator for multidimensional advective-diffusive systems // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1986. Vol. 58. P. 305-328. DOI

  11. Bochev P.B., Gunzburger M.D., Shadid J.N. Stability of the SUPG finite element method for transient advection–diffusion problems // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2004. Vol. 193. P. 2301-2323. DOI

  12. Burman E. Consistent SUPG-method for transient transport problems: Stability and convergence // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2010. Vol. 199. P. 1114-1123. DOI

  13. Сальников Н.Н., Сирик С.В. Построение весовых функций метода Петрова–Галёркина для уравнений конвекции–диффузии–реакции в трехмерном случае // Кибернетика и системный анализ. 2014. Т. 50. № 5. С. 173-183. (English version DOI)

  14. Hughes T.J.R., Franca L.P., Hulbert G.M. A new finite element formulation for computational fluid dynamics: VIII. The Galerkin-least-squares method for advective-diffusive equations // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1989. Vol. 73. P. 173-189. DOI

  15. Franca L.P., Frey S.L., Hughes T.J.R. Stabilized finite element methods: I. Application to the advective-diffusive model // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1992. Vol. 95. P. 253-276. DOI

  16. Codina R. Comparison of some finite element methods for solving the diffusion-convection-reaction equation // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1998. Vol. 156. P. 185-210. DOI

  17. Xia K., Yao H. A Galerkin/least-square finite element formulation for nearly incompressible elasticity/stokes flow // Appl. Math. Model. 2007. Vol. 31. P. 513-529. DOI

  18. Ranjan R., Feng Y., Chronopolous A.T. Augmented stabilized and Galerkin least squares formulations // J. Math. Res. 2016. Vol. 8. No. 6. P. 1-33. DOI

  19. John V., Knobloch P. On the performance of SOLD methods for convection–diffusion problems with interior layers // Int. J. Comput. Sci. Math. 2007. Vol. 1. P. 245-258. DOI

  20. John V., Knobloch P. On the choice of parameters in stabilization methods for convection–diffusion equations // Numerical Mathematics and Advanced Applications / Ed. K. Kunisch, G. Of, O. Steinbach. Springer, 2008. P. 297-304. DOI

  21. John V., Schmeyer E. Finite element methods for time-dependent convection–diffusion–reaction equations with small diffusion // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2008. Vol. 198. P. 475-494. DOI

  22. Hughes T.J.R., Feijóo G.R., Mazzei L., Quincy J.-B. The variational multiscale method – a paradigm for computational mechanics // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1998. Vol. 166. P. 3-24. DOI

  23. Brezzi F., Hauke G., Marini L.D., Sangalli G. Link-cutting bubbles for the stabilization of convection-diffusion-reaction problems // Math. Model. Meth. Appl. Sci. 2003. Vol. 13. P. 445-461. DOI

  24. Brezzi F., Marini L.D., Russo A. On the choice of a stabilizing subgrid for convection–diffusion problems // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2005. Vol. 194. P. 127-148. DOI

  25. Juanes R. A variational multiscale finite element method for multiphase flow in porous media // Finite Elem. Anal. Des. 2005. Vol. 41. P. 763-777. DOI

  26. Hughes T.J.R., Sangalli G. Variational multiscale analysis: the fine-scale Green’s function, projection, optimization, localization, and stabilized methods // SIAM J. Numer. Anal. 2007. Vol. 45. P. 539-557. DOI

  27. Modirkhazeni S.M., Trelles J.P. Algebraic approximation of sub-grid scales for the variational multiscale modeling of transport problems // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2016. Vol. 306. P. 276-298. DOI

  28. Sendur A., Nesliturk A., Kaya A. Applications of the pseudo residual-free bubbles to the stabilization of the convection–diffusion–reaction problems in 2D // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2014. Vol. 277. P. 154-179. DOI

  29. Жуков В.Т., Новикова Н.Д., Страховская Л.Г., Федоренко Р.П., Феодоритова О.Б. Метод конечных суперэлементов в задачах конвекции-диффузии: Препр. / ИПМ им. М.В. Келдыша. М., 2001. 17 c. (URL:http://keldysh.ru/papers/2001/prep8/prep2001_8.pdf)

  30. Masud A., Calderer R. A variational multiscale method for incompressible turbulent flows: Bubble functions and fine scale fields // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2011. Vol. 200. P. 2577-2593. DOI

  31. Coley C., Evans J.A. Variational multiscale modeling with discontinuous subscales: analysis and application to scalar transport // Meccanica. 2018. Vol. 53. P. 1241-1269. DOI

  32. Do Carmo E.G.D., Alvarez G.B. A new upwind function in stabilized finite element formulations, using linear and quadratic elements for scalar convection–diffusion problems // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2004. Vol. 193. P. 2383‑2402. DOI

  33. Hauke G. A simple subgrid scale stabilized method for the advection–diffusion-reaction equation // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2002. Vol. 191. P. 2925-2947. DOI

  34. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

  35. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 351 с.

  36. Comsol Multiphysics 5.4.Reference Manual. 2018. 1622 p.

Опубликован
2019-06-30
Как цитировать
Желнин, М. С., Костина, А. А., & Плехов, О. А. (2019). Вариационные многомасштабные методы конечных элементов для нелинейного уравнения конвекции-диффузии-реакции. Вычислительная механика сплошных сред, 12(2), 149-160. https://doi.org/https://doi.org/10.7242/1999-6691/2019.12.2.13
Раздел
Статьи