Граничные интегральные уравнения первого рода с гладкими ядрами в динамических задачах ортотропной теории упругости

Аннотация

Рассмотрены установившиеся гармонические колебания ортотропного упругого тела в плоской постановке. Для решения краевых задач предложен метод альтернативных граничных интегральных уравнений (АГИУ) 1-го рода с гладкими ядрами, в котором условия разрешимости формулируются на характеристическом множестве дифференциального оператора без явного построения фундаментального решения. Граничная формулировка понижает размерность задачи на единицу и особенно эффективна в постановках, где неизвестными являются граничные перемещения и напряжения. В пределе нулевой частоты схема формально переходит в статический вариант АГИУ с тем же набором граничных неизвестных. Предложен способ сведения граничных уравнений к переопределённой системе линейных алгебраических уравнений; для её регуляризованного решения используется метод усечённого сингулярного разложения. Численная верификация метода выполнена на четырёх модельных задачах: для эллиптической области с заданным вектором напряжений на границе; для прямоугольной области с заделкой на одной стороне; для той же прямоугольной области со смешанными однородными граничными условиями в спектральной постановке; для эллиптической области при определении резонансных частот. Сопоставление с конечно-элементными расчётами показало, что в первой задаче расхождение по граничным перемещениям эллипса составляет 3–5%, во второй задаче при оценке максимального отклонения по компонентам – 2.7%, а в задачах определения резонансных частот максимальная относительная погрешность рассчитанных частот не превосходит 0.07% в прямоугольной области и 10^-3% в эллиптической. Полученные результаты подтверждают вычислительную устойчивость и применимость предложенной АГИУ-схемы.