Решение задач механики деформирования поликристаллических материалов на основе теории возмущений

Аннотация

Предложен метод решения краевых задач механики сильно неоднородных поликристаллических тел. Метод основан на новой схеме теории возмущений, применяемой для приближенного решения интегральных уравнений математической физики, заключающейся в разбиении исходного уравнения на невозмущенную (нулевую) часть и возмущение. За возмущение, по которому далее ведется разложение решения, принимается межкристаллитное взаимодействие деформаций. Решение для деформаций в каждом зерне представляется в виде суммы поправок различных порядков по взаимодействию. Эти поправки удовлетворяют бесконечному числу зацепляющихся интегральных уравнений. Структура цепочек уравнений такова, что каждое уравнение может быть решено одним и тем же методом. При пренебрежении неоднородностями деформаций внутри зерна системы интегральных уравнений сводятся к системам линейных алгебраических уравнений, легко решаемым численно современными методами. Показано, что эффекты взаимодействия деформаций в зернах поликристалла можно описать с помощью тензоров четвертого ранга. Для двух зерен произвольной анизотропии этот тензор имеет 36 независимых компонент. Решение краевой задачи строится в виде ряда по этим компонентам. Изложен математический формализм метода. Исследована сходимость решения по межкристаллитному взаимодействию. Метод подходит для решения нескольких типов задач. В качестве его приложения осуществлено определение интенсивности межзеренного взаимодействия и показано, что в большей степени она зависит от анизотропии зерен и в меньшей - от формы зерен, что ее уровень падает с увеличением расстояния между зернами достаточно медленно. Даны оценки размеров представительного элемента объема поликристаллических материалов и макроскопических размеров поликристаллического тела, при которых поликристаллическое тело допустимо рассматривать как однородное с эффективными свойствами.