Исследование спектральной устойчивости обобщенных методов Рунге-Кутты применительно к начально-краевым задачам для волнового уравнения

Аннотация

Разработан общий алгоритм исследования спектральной устойчивости обобщенных многостадийных методов Рунге-Кутты (МРК) разных порядков точности применительно к численному интегрированию по времени волнового уравнения. Построена функция устойчивости для оценки спектральной устойчивости указанных методов. Исследована спектральная устойчивость различных явных и неявных обобщенных МРК. Выявлено, что поведение введенной функции устойчивости в конкретных обобщенных МРК такое же, как и в ранее рассмотренном случае уравнения переноса. Показано, что все явные обобщенные МРК спектрально неустойчивы, а все неявные обобщенные МРК - спектрально устойчивы, причем неявные методы, основанные на формулах Радо, Лобатто IIIC, Нёрсетта и Барриджа, обладают свойством ложного затухания (асимптотической устойчивостью), а методам Гаусса-Лежандра, Лобатто IIIA, Лобатто IIIB всех порядков точности это свойство не присуще. На основе введенной функции устойчивости изучена спектральная устойчивость семейства методов Ньюмарка. Продемонстрировано, что один из них есть частный случай одного из обобщенных МРК, а именно одностадийного метода Гаусса-Лежандра (метода средней точки). Все остальные методы Ньюмарка либо спектрально неустойчивы, либо имеют свойство ложного затухания. Проведено сравнение приближенных решений, найденных разными обобщенными МРК и методами Ньюмарка, с точным решением задачи свободных колебаний струны, находящейся до начала движения в равновесии под действием сосредоточенной силы, которая мгновенно снимается в начальный момент времени. Показано, что лучшим при этом (в смысле соотношения простоты реализации и достигнутой точности) является численный результат, установленный трехстадийным диагонально неявным методом Барриджа четвертого порядка точности, так как сложность его реализации примерно такая же, как у методов Ньюмарка, а точность на два порядка выше. Продемонстрировано, что разработанный алгоритм исследования спектральной устойчивости обобщенных МРК и все полученные теоретические результаты могут быть без изменения перенесены и на параболические уравнения, содержащие вторые производные по времени от неизвестных функций и описывающие динамическое поведение изгибаемых балок или пластин.