Математическое моделирование волнового поля методом конечных разностей

Аннотация

Система уравнений гидродинамики, записанная в дифференциальной форме, приведена к неоднородному волновому уравнению, для которого построена дискретная модель. Исследуемая область, представляющая собой прямоугольник, покрывается двумерной равномерной расчетной сеткой. Разработаны дискретные аналоги волнового уравнения при граничных условиях Дирихле и Неймана. Описан выбор вида и параметров расчетных сеток. Получены аналитические выражения, для определения погрешности аппроксимации по пространственным координатным направлениям для оператора второй производной на основе схем 2-го и 4-го порядков точности и в этом диапазоне погрешности оценены размеры сеток. Вычислительные эксперименты показали, что для удержания погрешности в пределах от 0.1 до 1%, необходимо применять сетки с приходящимся на половину длины волны числом узлов в диапазоне от 9 до 30 при схеме 2-го порядка точности, и от 4 до 6 при схеме 4-го порядка точности. Важным является выбор значений шага по времени и весового параметра. Так, при весовом параметре σ =1/12 относительная погрешность существенно меньше, чем при σ =0, соответствующем явной схеме, и при σ =1/4, соответствующем симметричному заданию коэффициентов в схеме с весами. Рассчитаны оптимальные значения весового параметра с точки зрения сохранения частоты распространения колебательных процессов. При анализе дискретной модели получено условие устойчивости разностной схемы и выражение, описывающее погрешность аппроксимации по временной переменной, зависящее от величин шагов по времени и пространственным координатным направлениям. Установлено, что аппроксимация начальных условий вносит в суммарную погрешность меньший вклад, чем аппроксимация уравнения для последующих временных слоев. На основе предложенных алгоритмов и подходов создан программный комплекс, предназначенный для моделирования процесса распространения колебаний в двумерной области. Проведен ряд вычислительных экспериментов, в частности, рассмотрены процессы: распространение акустических волн от антенн с отличающимися характеристиками направленности; рассеяние волн на препятствиях разных типов. Для отыскания дальних полей акустической антенны предлагается расчетное окно делать подвижным и находить его местоположение в пространстве. Это позволяет существенно сократить время оценки распространения звуковых волн на большие расстояния.