Функциональные связи гидродинамических полей стационарного осесимметричного течения вязкой жидкости

Аннотация

Анализ уравнений стационарного осесимметричного движения вязкой жидкости в переменных «функция тока–вихрь–функция Бернулли» показывает, что в случае существенно вязкого течения ранг матрицы Якоби системы этих гидродинамических переменных равен двум, что означает наличие между ними функциональной связи, задаваемой одним выражением. Основой для нахождения этой связи служит уравнение, следующее из уравнений движения и переноса вихря. Оно имеет вид линейной комбинации градиентов трёх гидродинамических полей с коэффициентами, равными минорам 2-го порядка матрицы Якоби. С помощью интегрирующего множителя линейную комбинацию можно преобразовать к полному градиенту некоторой функции, сохраняющей, хотя бы локально, постоянное значение на решении исходной системы гидродинамических уравнений. Эта сохраняющаяся величина даст выражение функциональной зависимости между функцией Бернулли, модифицированными вихрем и функцией тока. Для осуществления указанной процедуры требуется определить коэффициенты линейной комбинации как функции заранее неизвестных гидродинамических полей, а не пространственных переменных. Это приводит к необходимости рассмотрения замкнутой системы уравнений, которая и построена в настоящей работе. По её решениям устанавливается вид искомой функциональной зависимости и сами гидродинамические поля. Приведены примеры такого рода точных решений, которые могут служить основой для тестирования численных алгоритмов.