О численном подходе для решения одной нелинейной задачи гидродинамики в невыпуклой многоугольной области

Аннотация

Рассматривается двумерная стационарная задача, полученная в результате дискретизации по времени нелинейных уравнений Навье-Стокса в вихревой форме, описывающих течение несжимаемой вязкой жидкости в невыпуклой многоугольной области. Для того чтобы решить нелинейную задачу, строится последовательность приближенных линейных задач. Для линейных задач вводится понятие Rv-обобщенного решения в весовых множествах, для которых справедлив весовой аналог условия Ладыженской-Бабушки-Брецци. Построен метод конечных элементов с весом такой, что в нем подавляется погрешность, возникающая в окрестности угла на границе, большего π, то есть она не распространяется во внутреннюю часть расчетной области. Закон сохранения массы справедлив непосредственно в узлах сетки, а не только в (слабом) интегральном смысле. Проведены вычислительные эксперименты и сделан сравнительный анализ результатов решений в многоугольных областях с различными значениями угла, большего π. Предложенный подход имеет превосходство над классическим методом конечных элементов по порядку сходимости относительно шага сетки. Установлен набор оптимальных параметров, при которых достигается необходимый результат по порядку сходимости численного решения, при этом показатель весовой функции связан с величиной угла, а определяющие Rv-обобщенное решение параметры от него не зависят. Порядок сходимости решения задачи предложенным приближенным методом к точному решению нелинейной задачи, в отличие от классического метода конечных элементов, не обусловлен величиной граничного угла, большего π. При применении приближенного метода не используется геометрическое сгущение сетки в окрестности точки сингулярности.