РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ПРОБЛЕМЕ КОНТРОЛЯ СОСТОЯНИЯ ЛЕДОПОРОДНОГО ОГРАЖДЕНИЯ

Аннотация

Сложные инженерно-геологические и гидрогеологические условия строительства подземных сооружений требуют применения специальных способов производства ра- бот, в частности, искусственного замораживания грунтов [1]. Применительно к строи- тельству шахтных стволов, искусственное замораживание грунтов и горных пород ис- пользуется для создания ледопородного ограждения (льдопородной завесы) вокруг за- проектированной горной выработки (см. рис. 1). Для этого по контуру запроектирован- ной к проходке выработки бурятся скважины, в которые опускаются замораживающие колонки. За счет работы холодильных станций по колонкам осуществляется циркуля- ция хладоносителя (рассола) с поддерживаемой температурой до -50 °С [1, 2]. В ре- зультате циркуляции охлаждающего рассола в замораживающей колонке окружающий ее породный массив постепенно охлаждается, а содержащаяся в массиве вода кристал- лизуется. По истечении некоторого времени вокруг замораживающих колонок образу- ются одиночные ледопородные цилиндры, которые в дальнейшем смыкаются, образуя сплошное ледопородное ограждение, предотвращающее попадание грунтовых вод в строящуюся горную выработку [3]. Согласно сводам правил [3, 4], для наблюдения за процессом искусственного за- мораживания грунтов и горных пород необходимо использовать контрольные скважи- ны - гидрогеологические и термометрические. Гидрологические скважины использу- ются для контроля уровня грунтовых вод, а термометрические - для измерения темпе- ратуры грунта по всей глубине скважины. Экспериментальная термометрия в кон- трольных скважинах имеет недостаток, связанный с локальностью измерения темпера- тур в отдельных скважинах. Наряду с экспериментальными измерениями параметров грунтов в скважинах, применяются теоретические методы прогнозирования теплового режима породного массива [5-7]. Теплофизические параметры для математических моделей породного массива определяются исходя из инженерно-геологических изысканий, проводимых на промплощадке рудника перед строительством стволов. Как показывает практика, теп- лофизические параметры слоев горных пород, получаемых в результате инженерно- геологических изысканий, зачастую имеют высокую погрешность, а математические модели, описывающие тепло- и массообменные процессы в горных породах, построен- ные с использованием этих параметров, оказываются неэффективны при решении практических задач [8]. 262 ----------------------- Page 263----------------------- Контрольная скважина Талый грунт Замораживающие колонки Мерзлый грунт Рис. 1. Ледопородное ограждение в горизонтальном разрезе массива горных пород Решение указанных недостатков экспериментальной термометрии и теоретиче- ских методов прогнозирования теплового режима породного массива достигается с ис- пользованием современных средств экспериментальных измерений, передачи и обра- ботки данных, которые позволяют расширить классический термометрический кон- троль в скважинах до системы непрерывного интеллектуального мониторинга теплово- го режима породного массива в целом [9 - 11]. Основополагающими принципами сис- темы непрерывного интеллектуального мониторинга являются: 1. Непрерывное измерение температуры по всей глубине контрольно- термических скважин с помощью оптического волокна. 2. Передача и хранение измеренных температур породного массива, а также 3. параметров системы заморозки в базе данных на сервере. Калибровка теплофизических параметров слоев горных пород в математиче- ской модели тепло- и массопереноса на основе измеренных температур в кон- трольных скважинах. 4. Прогнозирование динамики роста ледопородного ограждения со временем на основании численного моделирования тепло-и массопереноса в слоях горных пород. Калибровка теплофизических параметров слоев горных пород проводится путем минимизации критерия рассогласования I температур на контрольных скважинах, из- меренных экспериментально и рассчитанных теоретически путем решения прямой за- дачи Стефана [7, 12, 13]. (1) . Здесь - модельная температура на i-й скважине, °С; - эксперименталь- ная температура на i-й скважине, °С; - количество контрольных скважин, - время заморозки, сут. Минимизация функционала (1) в фазовом пространстве теплофизических свойств породного массива осуществляется с использованием модификации метода градиент- ного спуска. На каждой итерации алгоритм N+1 раз решается прямая задача Стефана 263 ----------------------- Page 264----------------------- для определения частных производных функционала F по N различным параметрам минимизации. Пусть - вектор калибруемых параметров задачи; - текущее значение функционала рассогласования, представляющее собой также ошибку расчета обратной задачи; - максимально допустимая ошибка решения обратной задачи. Тогда предложенный алгоритм включает в себя следующие шаги: 1. Определение начальных приближений . 2. Расчет прямой задачи Стефана, определение текущей ошибки по формуле (2), сравнение с максимально допустимой ошибкой . Если , то тре- буемая точность достигнута и следует завершить расчет, иначе - переход к шагу 3. 3. Выбор малых отклонений калибруемых параметров на k-й итерации ал- горитма. Расчет прямой задачи Стефана для каждой компоненты вектора . Вычисление частных производных функционала : . (19) 4. Расчет новых значений калибруемых параметров на (k+1)-й итерации задачи по формуле (20) . Здесь - параметр, характеризующий фактор предыстории, - параметр, определяющий скорость градиентного «спуска». 5. Проверка на невыход параметров калибровки из области допустимых зна- чений. (21) . 6. Если превысили максимальное количество итераций, то необходимо завер- шить расчет, иначе - возврат к шагу 2. На рис. 2 представлены значения влагосодержания различных слоев горных по- род, откалиброванные с использованием предложенного алгоритма на основе измерен- ных температур в контрольных скважинах для условий промплощадки строящегося рудника Нежинского ГОК ИООО «Славкалий». 264 ----------------------- Page 265----------------------- Рис. 2. Значения влагосодержания различных слоев горных пород, полученные в результате калибровки теплофизических свойств На рис. 2 представлены начальные значения влагосодержания, полученные из инженерно-геологических изысканий, а также откалиброванные значения для 30, 60 и 90 суток с момента начала заморозки. Получено, что присутствует зависи- мость калибруемых теплофизических свойств пород от времени. Предложены воз- можные объяснения данного эффекта: неоднородность и анизотропия реального породного массива, наличие вертикального градиента температур, наличие по- грешности данных инклинометрии скважин, пренебрежение фильтрационной ми- грацией грунтовых вод в математической модели. Для ряда слоев характерен по- степенный «откат» к начальным значениям влагосодержания, полученным из ин- женерно-геологических изысканий.