Реализация С¹-непрерывного метода конечных элементов в формулировке градиентной теории для задач о трещинах
DOI:
https://doi.org/10.7242/1999-6691/2026.19.1.5Ключевые слова:
градиентная теория упругости, задачи о трещинах, асимптотические решения, механика разрушения, численное моделирование, подпрограмма UEL, обогащённые элементыАннотация
Градиентная теория упругости (ГТУ) предоставляет возможность регуляризации широкого класса задач классической механики деформируемого твердого тела, включая задачи о трещинах, острых углах, сосредоточенных нагрузках, дислокациях и другое. В рамках теории предполагается, что плотность энергии деформации зависит не только от самих деформаций, но и от их пространственных производных, что накладывает дополнительные требования на гладкость искомых полей деформаций и напряжений. В данной работе рассматривается реализация в программном комплексе Abaqus/CAE С¹-непрерывного метода конечных элементов, основанного на упрощённой ГТУ. Использованы стандартные и обогащённые асимптотическими аналитическими решениями трёхузловые элементы c функциями формы в виде полиномов 5-го порядка. Стандартный пакет Abaqus дополнен пользовательской подпрограммой (UEL) и пользовательским интерфейсом. На основе проведённых расчётов для задач о раскрытии трещин в режимах мод I, II и смешанной моды исследована сеточная сходимость находимых решений и рассчитаны распределения напряжений вблизи вершины трещины. Продемонстрирована вычислительная эффективность обогащённых конечных элементов, по сравнению со стандартными, ввиду их более быстрой сходимости. Обогащённые элементы позволяют получить амплитудные коэффициенты асимптотических решений ГТУ, которые в свою очередь дают возможность вычислять J-интеграл и прибегать при анализе напряжённо-деформированного состояния конструкций к энергетическим критериям линейной механики разрушения с учётом размерного эффекта. Оценено влияние неклассических размерных эффектов на значение J-интеграла.
Скачивания
Библиографические ссылки
Askes H., Aifantis E.C. Gradient elasticity in statics and dynamics: An overview of formulations, length scale identication procedures, nite element implementations and new results // International Journal of Solids and Structures. 2011. Vol. 48. P. 19621990. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2011.03.006
Bärnkopf E., Kövesdi B., Dunai L. Investigation of Stress Concentration Zones in FEM-Based Design of Welded Plated Structures // Buildings. 2023. Vol. 13. 1057. https://doi.org/10.3390/buildings13041057
Соляев Ю.О. Неклассические масштабные эффекты в прикладных моделях градиентной теории упругости и электроупругости: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 1.1.8 / Соляев Юрий Олегович. Москва: Институт прикладной механики РАН, 2022. 295 с.
Sinclair G.B., Beisheim J.R., Kardak A.A. On the Detection of Stress Singularities in Finite Element Analysis // Journal of Applied Mechanics. 2019. Vol. 86. 021005. https://doi.org/10.1115/1.4041766
Корепанов В.В., Матвеенко В.П., Федоров А.Ю., Шардаков И.Н. Численный анализ сингулярных решений двумерных задач несимметричной теории упругости // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2013. № 4. C. 50–58.
Матвеенко В.П., Федоров А.Ю., Галкина Е.Б.Численное исследование концентрации напряжений в вершине V-образного надреза при его неполном заполнении материалом // Вычислительная механика сплошных сред. 2022. Т. 15, № 3. C. 333–342. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2022.15.3.25
Valvo P.S. A further step towards a physically consistent virtual crack closure technique // International Journal of Fracture. 2015. Vol. 192. P. 235244. https://doi.org/10.1007/s10704-015-0007-4
Krueger R. Virtual crack closure technique: History, approach, and applications // Applied Mechanics Reviews. 2004. Vol. 57. P. 109143. https://doi.org/10.1115/1.1595677
Lekhnitskii S.G. Anisotropic Plates. New York: Gordon and Breach Science Publishers, 1968. 534 p.
Moes N., Dolbow J., Belytschko T. A nite element method for crack growth without remeshing // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1999. Vol. 46. P. 131150. https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0207(19990910)46:1<131::AID-NME726>3.3.CO;2-A
Ahmed A. eXtended Finite Element Method (XFEM) - Modeling arbitrary discontinuities and Failure analysis: Dissertation for the Master Degree / Ahmed Awais. Pavia: Istituto Universitario di Studi Superiori di Pavia, 2009. 196 p.
Diehl T. Modeling Surface-Bonded Structures with ABAQUS Cohesive Elements: Beam-Type Solutions // Abaqus User's Conference Proceedings. Stockholdm, Sweden, 2005. P. 89115.
Aifantis E.C. On the role of gradients in the localization of deformation and fracture // International Journal of Engineering Science. 1992. Vol. 30. P. 12791299. https://doi.org/10.1016/0020-7225(92)90141-3
Cauchy L. Note sur l'équilibre et les mouvements vibratoires des corps solides // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. 1851. Vol. 32. P. 323326.
Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой: нелокальная теория упругости. М.: Наука, 1975. 415 с.
Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // Физика твердого тела. 1960. Т. 2, № 7. C. 1399–1409.
Левин В.М. О связи между математическими ожиданиями тензоров напряжения и деформации в упругих микронеоднородных средах // Прикладная математика и механика. 1971. Т. 35, № 4. C. 744–750.
Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1964. Vol. 16. P. 5278. https://doi.org/10.1007/BF00248490
Toupin R.A. Elastic materials with couple-stresses // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1962. Vol. 11. P. 385414. https://doi.org/10.1007/BF00253945
Green A.E., Rivlin R.S. Simple force and stress multipoles // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1964. Vol. 16, no. 5. P. 325353. https://doi.org/10.1007/BF00281725
Papanicolopulos S.-A., Zervos A. Numerical solution of crack problems in gradient elasticity // Proceedings of the Institution of Civil Engineers - Engineering and Computational Mechanics. 2010. Vol. 163. P. 7382. https://doi.org/10.1680/eacm.2010.163.2.73
Solyaev Y., Dobryanskiy V. Enriched C1 Finite Elements for Crack Problems in Simplied Strain Gradient Elasticity // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2025. Vol. 126. e70081. https://doi.org/10.1002/nme.70081
Васильев В.В.,Лурье С.А.,Салов В.А.Новое решение задачи о трещине в растягиваемой ортотропной пластине // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2021. № 6. C. 23–32. https://doi.org/10.31857/S0572329921060167
Васильев В.В., Лурье С.А., Салов В.А. Исследование прчности пластин с трещинами на основе критерия максимальных напряжений в масштабно-зависимой обобщенной теории упругости // Физическая мезомеханика. 2018. Т. 21, № 4. C. 5–12. https://doi.org/10.24411/1683-805X-2018-14001
Vasil'ev V.V., Lur'e S.A. New Method for Studying the Strength of Brittle Bodies with Cracks // Russian Metallurgy (Metally). 2020. Vol. 2020. P. 291297. https://doi.org/10.1134/S0036029520040345
Васильев В.В., Лурье С.А. Новое решение плоской задачи о равновесной трещине // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2016. № 5. C. 61–67.
Vasiliev V., Lurie S., Solyaev Y. New approach to failure of pre-cracked brittle materials based on regularized solutions of strain gradient elasticity // Engineering Fracture Mechanics. 2021. Vol. 258. 108080. https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2021.108080
Васильев В.В., Лурье С.А. Обобщенное решение задачи о круглой мембране, нагруженной сосредоточенной силой // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2016. № 3. C. 115–118.
Solyaev Y., Lurie S., Altenbach H., dell'Isola F. On the elastic wedge problem within simplied and incomplete strain gradient elasticity theories // International Journal of Solids and Structures. 2022. Vol. 239/240. 111433. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2022.111433
Ломакин Е.В., Лурье С.А., Рабинский Л.Н., Соляев Ю.О. Об уточнении напряжённого состояния в прикладных задачах упругости за счёт градиентных эффектов // Доклады Академии наук. 2019. Т. 489, № 6. C. 585–591. https://doi.org/10.31857/S0869-56524896585-591
Askes H., Susmel L. Understanding cracked materials: is Linear Elastic Fracture Mechanics obsolete? // Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures. 2015. Vol. 38. P. 154160. https://doi.org/10.1111/e.12183
Askes H., Susmel L. Gradient enriched linear-elastic crack tip stresses to estimate the static strength of cracked engineering ceramics // Fracture and Structural Integrity. 2013. Vol. 7. P. 8793. https://doi.org/10.3221/IGF-ESIS.25.13
Bagni C., Askes H., Susmel L. Gradient-enriched linear-elastic tip stresses to perform the high-cycle fatigue assessment of notched plain concrete // Fracture and Structural Integrity. 2015. Vol. 9. P. 105110. https://doi.org/10.3221/IGF-ESIS.33.14
Соляев Ю.О., Щербаков С.С., Голубкин К.С., Поляков П.О. Оценка масштабных параметров металлов по данным усталостных испытаний образцов с поверхностными дефектами // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2025. № 1. C. 170–196. https://doi.org/10.31857/S1026351925010098
Адамов А.А. О гипотезе однородности, масштабных параметрах длины и краевом эффекте для изотропного континуума Коссера // Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16, № 3. C. 329–346.
Benzley S.E. Representation of singularities with isoparametric nite elements // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1974. Vol. 8. P. 537545. https://doi.org/10.1002/NME.1620080310
Xiao Q.Z., Karihaloo B.L. An overview of a hybrid crack element and determination of its complete displacement eld // Engineering Fracture Mechanics. 2007. Vol. 74. P. 11071117. https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2006.12.022
Степанова Л.В.Асимптотический анализ поля напряжений у вершины трещины (учет высших приближений) // Сибирский журнал вычислительной математики. 2019. Т. 22, № 3. C. 345–361. https://doi.org/10.15372/SJNM20190307
Henshell R.D., Shaw K.G. Crack tip nite elements are unnecessary // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1975. Vol. 9. P. 495507. https://doi.org/10.1002/nme.1620090302
Nejati M., Paluszny A., Zimmerman R.W. On the use of quarter-point tetrahedral nite elements in linear elastic fracture mechanics // Engineering Fracture Mechanics. 2015. Vol. 144. P. 194221. https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2015.06.055
Gourgiotis P.A., Georgiadis H.G. Plane-strain crack problems in microstructured solids governed by dipolar gradient elasticity // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2009. Vol. 57. P. 18981920. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2009.07.005
Solyaev Y. Higher-order asymptotic crack-tip elds in simplied strain gradient elasticity // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 2024. Vol. 130. 104321. https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2024.104321
Sciarra G., Vidoli S. Asymptotic Fracture Modes in Strain-Gradient Elasticity: Size Eects and Characteristic Lengths for Isotropic Materials // Journal of Elasticity. 2013. Vol. 113. P. 2753. https://doi.org/10.1007/s10659-012-9409-y
Dasgupta S., Sengupta D. A higher-order triangular plate bending element revisited // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1990. Vol. 30. P. 419430. https://doi.org/10.1002/NME.1620300303
Abaqus User Subroutines Reference Guide. Dassault Systèmes, 2016. 683 p.
Barenblatt G.I. The Mathematical Theory of Equilibrium Cracks in Brittle Fracture // Advances in Applied Mechanics. 1962. Vol. 7. P. 55129. https://doi.org/10.1016/S0065-2156(08)70121-2
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Copyright (c) 2026 Вычислительная механика сплошных сред
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
