Бифуркационный анализ вблизи порога возбуждения конвекции при однородном прокачивании жидкости через слабо несимметричный пористый чип

Аннотация

Пористые каркасы, насыщенные жидкостью, являются важнейшей частью перфузионных биореакторов проточного типа и выполняют роль микрожидкостных чипов. Такие устройства используются для выращивания клеточных культур и поддержания их в условиях постоянного потока раствора, богатого питательными веществами. Размножение клеток часто протекает в неизотермических условиях, которые в поле силы тяжести могут приводить к возбуждению тепловой конвекции. В данной работе рассматривается задача возникновения конвекции в подогреваемом снизу пористом чипе, через который осуществляется однородное прокачивание несжимаемой жидкости в вертикальном направлении. Известно, что включение пористой среды в высокотеплопроводный непроницаемый массив приводит к тому, что краевая задача приобретает свойство косимметрии при любой односвязной двумерной форме области и вызывает ответвление однопараметрических семейств разнородных состояний равновесия. Но даже слабое течение жидкости через пористую среду разрушает косимметрию, а тип динамического поведения системы в этом случае обуславливается свойствами области. Если область прокачивания при отражении симметрична относительно вертикальной оси, наблюдается стационарная конвекция. В несимметричной области возбуждаются периодические колебания. В статье изучается бифуркационная структура вблизи порога возбуждения конвекции в слабо несимметричной области. Внимание фокусируется на процессе перехода от стационарной к колебательной конвекции. Исследование системы включает: нахождение основного состояния; линейный анализ его устойчивости с помощью метода Галёркина; анализ слабо нелинейных решений вблизи точки первой бифуркации методом многих временных масштабов. Показано, что ветвление решений вблизи порога возбуждения конвекции у слабо некосимметричной системы уравнений, заданных в слабо несимметричной 2-D области, неожиданно имеет сложную картину. Процесс перехода включает бифуркацию Андронова--Хопфа, рождение и смерть предельных циклов и равновесий, а также образование гомоклинических траекторий. Построены карты устойчивости на плоскостях, составленных управляющими параметрами задачи: числом Рэлея для пористой среды, тепловым числом Пекле и углом наклона чипа, выступающим как параметр несовершенства симметрии. Приведены бифуркационные диаграммы динамической системы на её медленном многообразии.