К развитию приближенной теории прямой и обратной задач для неоднородной прямоугольной области

Аннотация

Работа посвящена развитию приближенной теории для решения прямой и обратной задач применительно к неоднородной плоской области. Область статически деформируется под действием некоторой механической нагрузки. В прямой задаче по известному закону неоднородности материальных параметров, граничным условиям и геометрии области требуется определить поле перемещений. В обратной задаче необходимо восстановить закон неоднородности упругой характеристики по дополнительной информации об измеренных смещениях некоторой ненагруженной части границы области. Чаще всего подобные задачи для неоднородных тел решаются численно, например, с помощью метода конечных элементов (МКЭ). Однако, с точки зрения анализа решений и применения их к обратным задачам, больший интерес представляет создание упрощенных моделей и нахождение приближенных аналитических решений. Предложен подход к построению аналитических выражений для компонент двумерного поля перемещений в прямой задаче путем введения функции напряжений. Проведен сравнительный анализ решений, полученных с помощью предложенной приближенной теории, одномерных балочных моделей Бернулли–Эйлера и Тимошенко, а также МКЭ в двумерной реализации. Сравнение продемонстрировало хорошую точность полученных аналитических представлений для различных соотношений размеров прямоугольных областей и законов неоднородности. На основе разработанной приближенной теории, а также балочной модели Тимошенко предложен подход к решению обратной задачи о реконструкции одномерного закона неоднородности упругой характеристики. Получены явные формулы для определения искомых характеристик через функции смещения, заданные на одной грани прямоугольной области. Представлены результаты вычислительных экспериментов, демонстрирующие эффективность предложенных подходов к решению прямых и обратных задач.