УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ ПОРОДНЫХ МАССИВОВ

  • Н.А. САМОДЕЛКИНА Горный институт УрО РАН

Аннотация

В данной работе представлена методика определения поведения многослойной двухкомпонентной среды, когда оба ее компонента описываются упругопластической моделью деформирования. В качестве слоистой среды может рассматриваться так же и трещиноватая порода. Данная методика основана на использовании метода конечных элементов трехмерной задачи упругости и метода начальных напряжений [1-3]. Пове- дение слоистого породного массива характеризуется усредненными напряжениями и деформациями, которые находят из решения упругопластической задачи для каждого компонента массива. При постановке задачи предполагается, что в процессе деформи- рования массива не происходит расслоения. Рассмотрим процесс деформирования двухкомпонентного слоистого массива, состоящего из системы чередующихся изотропных слоев (рис.1), плоскости которых ортогональны оси n. Исходными данными являются механические свойства слоев и их удельное объемное содержание. Рис. 1. Схема слоистого двухкомпонентного породного массива Проведенные методом конечных элементов вычислительные эксперименты по определению напряженно-деформированного состояния неоднородной двухкомпо- нентной среды при одноосном растяжении (сжатии) и сдвиге, а также условия про- странственной симметрии показали, что между макроскопическими (усредненными по 82 ----------------------- Page 83----------------------- объему) и структурными напряжениями (деформациями) имеет место следующая зави- симость: ' '' ' '' ' ' ' '' ε ε = ε = ; ε ε =ε = ε ; ε = f ε + f ; l l l s s s n n n ' ' ' '' ' ' ' '' ' '' γ γ = f γ +γf γ =; fγ + f γ ; γ =γ = ; nl nl nl ns ns slns sl sl ' ' ' '' ' ' ' '' ' '' σ σ = f σ + f σ σ; = f σ + f σ ; σ =σ = ; l l l s s s n n n ' '' ' '' ' ' ' '' τ τ =τ = τ; τ =τ = τ ; τ = f τ + f , nl nl nl ns ns ns slsl sl , ,, где индексы ( ) и ( ) относятся к первому и второму компоненту слоистой среды; ком- поненты без индекса соответствуют макроскопическим параметрам напряженно- деформированного состояния трансверсально однородной среды (слоистому породно- ' '' му массиву); f и f относительное объемное содержание первого и второго компо- нента слоистой среды. Связь между напряжениями и деформациями каждого компонента слоистой сре- ды подчиняется закону Гука и имеет следующий вид: '('') '('') ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ σn ⎡'('') '('') '('') ⎤ εn C C C 0 0 0 ⎪ ⎪ 11 12 12 ⎪ ⎪ '('') ⎢'('') '('') '('') ⎥'('') σ ⎪ ⎪ε ⎪ ⎪ C s C C 0 0 0 s ⎪ ⎪ ⎢ 12 11 12 ⎥⎪ ⎪ '('') ⎢'('') '('') '('') ⎥'('') C σ C C 0 0 0 ⎪ ⎪ε ⎪ ⎪ l l 12 12 11 , ⎨ ⎬=⎢ '('') ⎥⎨ ⎬ 0 '('') 0 0 G0 0 '('') ⎪ ⎪τ ⎢ 12 ⎥⎪ ⎪γ ns ns ⎪ ⎪ ⎢ '('') ⎥⎪ ⎪ 0 0 '('') 0 0 G 0 '('') τnl ⎢ 12 ⎥γnl ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ '('') 0 0 0 '('') 0 ⎢ 0 G ⎥'('') ⎪ ⎪ ⎣ 12 ⎦⎪ ⎪ τsl γsl ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ' '' где компоненты матрицы упругости определяются модулем упругостиE E , и коэф- ' '' фициентом Пуассонаv v , : ' ('' ) '('') E (1 v ) - '('') C = 11 '('') '('') v v (1 )(1 +2 ) - '('' ) '('') '('') E v C = . 12 '('') '('') v v (1 )(1 +2 ) - '('' ) '('') E G = 12 '('') 2(1 ) +v Связь между макроскопическими напряжениями и деформациями в системе координат nsl (рис.1) определяется следующим соотношением: ⎧σ ⎫ ⎧ε ⎫ n ⎡ ⎤ n C C C 0 0 0 nn ns nl ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪σs ⎪ ⎢ ⎥⎪εs ⎪ C C C 0 0 0 sn ⎢ ss sl ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ C σC ⎢C 0 0 0 ⎥⎪ε ⎪ ⎪ l ⎪ l ls ll , ln ⎨ ⎬=⎢ ⎥⎨ ⎬ 0 τ 0 ⎢ 0 G0 0 ⎥γ ⎪ns ⎪ ns ⎪ns ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ 0 0 0 0 G 0 ⎪τnl ⎪ ⎢ nl ⎥⎪γnl ⎪ 0 0 0 0 ⎢ 0 G ⎥⎪ ⎪ ⎪⎩τsl ⎭⎪ ⎣ sl ⎦⎩γsl ⎭ 83 ----------------------- Page 84----------------------- где компоненты матрицы упругости, полученные на основе вышеприведенных выкла- док, определяются следующим образом: ' '' ' " 2 ' " ' ' '' f f C('' C ) 12 - 12 C C11 11 = = + - ; C = ; C C f C f C ss ll 11 11 '' ' '' ' nn '' ' '' ' f C f C + f C f C + 11 11 11 11 ' ' '' |' ' " ' '' ' " 2 f C C f C C + f f C( C ) - ' ' '' '' 11 12 11 12 12 12 C =C = = +; - ; C f C f C ns nl '' ' '' ' sl 12 12 '' ' '' ' f C f C + f C f C + 11 11 11 11 '' ' G G ' ' '' '' 12 12 G f G = f G + G =Gns = nl '' ' '' ' ; sl 12 12 . f G f G + 12 12 В том случае, если плоскости слоев произвольно ориентированы в пространстве (рис. 2), то матрица упругости осредненной среды имеет следующий вид: ⎧σ ⎫ ⎧ε ⎫ xx ⎡ ⎤ xx C C C C ⎪⎪σC ⎪⎪ ⎢Cxxxx xxyy xxzz xxxy xxxz xxyz ⎥⎪⎪εyy ⎪⎪ yy C C C C C C ⎪ ⎪ ⎢ xxyy yyyy yyzz yyxy yyxz yyyz ⎥⎪ ⎪ C C C C ⎪σC ⎪ ⎢C ⎥⎪ε ⎪ zz lzz ⎨ ⎬=⎢ xxzz yyzz zzzz zzxy zzxz zzyz ⎥⎨ ⎬ . C C C C τC ⎢Cxxxy yyxz zzxy xyxy xyxz xyyz ⎥γ ⎪ ⎪xy ⎪ ⎪ xy C C C C ⎪C ⎪ ⎢C ⎥⎪ ⎪ ⎪τxz ⎪ ⎢ xxxz yyxz zzxz xyxz xzxz xzyz ⎥⎪γxz ⎪ C C C C ⎪τC ⎪ ⎢⎣Cxxyz yyyz zzyz xyyz xzyz yzyz ⎦⎥⎪γ ⎪ ⎩yz ⎭ ⎩ yz ⎭ Вид компонент матрицы упругости не приводится из-за их громоздкости. Рис. 2. Произвольная ориентация слоев в пространстве. Решение упругопластической задачи при произвольной ориентации слоев про- водится в следующей последовательности: 1) путем поэтапного поворота системы координат xyz переводим макроскопические (осредненные) напряжения и деформации в систему координат nsl (рис.2); 2) определяем структурные деформации каждого компонента слоистой среды: '('') σ -ε ε( + ) τ τ '('') '('') '('') C12 '('') nl '('') ns '('') nn ll ss ε ε ε= , ε = , εn = , γ = , γ =γ , γ = , а l l s s nl ns sl sl '('') '('') '('') C G G 11 12 12 84 ----------------------- Page 85----------------------- затем по закону Гука определяем структурные напряжения '('') '('') '('') '('') '('') '('') σ σ , σ , τ , τ , τ , ; nn ss ns ll nl sl 3) на основании критерия пластичности (прочности) определяем пластические де- '('') '('') '('') '('') '('') '('') Δε ,Δε ,Δε , Δγ Δγ ,Δ γ , ; формации структурных элементов nn ss ll ns nl sl 4) в системе координат nsl переходим от структурных пластических деформаций к макроскопическим пластическим деформациям, а затем путем поэтапного по- ворота системы координат получаем макроскопические пластические деформа- ции в системе координат xyz. 5) дальнейшее решение проводится по стандартной схеме упругопластической за- дачи с использованием метода начальных напряжений для осредненной слои- стой среды. Данная методика была апробирована при решении тестовых задач в упругой и упругопластической постановке (погрешность решения в перемещениях не превышала соответственно 0.2% и 0.5%). Таким образом, была разработана в трехмерной постановке методика определения осредненных механических свойств произвольно ориентированной в пространстве двух- компонентной среды. На основе численных экспериментов получены соотношения пере- хода от макроскопических (осредненных) деформаций и напряжений к структурным и на- оборот. Разработанная методика была апробирована при решении тестовых задач.

Литература

  1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1. 1975. - 541 с.: ил.
  2. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. - М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.
  3. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. - М.: Недра, 1987. - 221 с.: ил.
Опубликован
2018-10-01
Выпуск
Раздел
Статьи