Использование метода экспоненциальных временных разностных схем для жестких систем с недиагональной линейной частью
DOI:
https://doi.org/10.7242/1999-6691/2019.12.4.34Ключевые слова:
методы экспоненциальных временных разностных схем, методы Кокса-Мэттьюса, жесткие системы, недиагональные уравненияАннотация
Методы экспоненциальных временных разностных схем дают устойчивые явные схемы для систем с быстро затухающими или осциллирующими модами («жестких» систем), снимая ограничение на величину шага по времени. Кроме того, использование этих методов позволяет радикально снижать скорость накопления погрешности при численном интегрировании консервативных систем. Особенно большой выигрыш в скорости счета получается для уравнений в частных производных с высоким порядком пространственных производных. Вместе с тем задача определения коэффициентов разностных схем этих методов становится крайне трудоемкой или аналитически неразрешимой при недиагональном виде принципиальной линейной части системы уравнений. В работе предлагается подход, при котором коэффициенты схем вычисляются путем прямого численного интегрирования некоторых вспомогательных задач на коротком временном интервале - одном шаге схемы. Подход является универсальным, его использование проиллюстрировано на четырех примерах: аналитически решаемой системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, одномерной системе с реакцией-диффузией в нестационарных условиях, двухмерной системе с реакцией-диффузией при стационарных и нестационарных условиях, одномерном уравнении Кана-Хилларда с постоянными коэффициентами. Использование метода экспоненциальных разностей по времени типа Рунге-Кутты второго порядка дает выигрыш скорости счета для уравнения диффузионного типа при оптимизации программы. Без оптимизации выигрыш растет на порядок по пространственному шагу с каждым новым порядком старшей пространственной производной и появляется, начиная с третьего порядка пространственной производной. Использование метода делает возможными исследования аналога локализации Андерсона в двух- и трехмерных активных средах, а также позволяет получить приемлемую производительность при прямом численном моделировании задач динамики плотности распределения активных броуновских частиц общего вида.
Скачивания
Библиографические ссылки
Kuramoto Y., Tsuzuki T. Persistent propagation of concentration waves in dissipative media far from thermal equilibrium // Prog. Theor. Phys. 1976. Vol. 55, no. 2. P. 356-369. https://doi.org/10.1143/PTP.55.356">https://doi.org/10.1143/PTP.55.356
Knobloch E. Pattern selection in long-wavelength convection // Phys. Nonlinear Phenom. 1990. Vol. 41, no. 3. P. 450-479. https://doi.org/10.1016/0167-2789(90)90008-D">https://doi.org/10.1016/0167-2789(90)90008-D
Shtilman L., Sivashinsky G. Hexagonal structure of large-scale Marangoni convection // Phys. Nonlinear Phenom. 1991. Vol. 52, no. 2-3. P. 477-488. https://doi.org/10.1016/0167-2789(91)90140-5">https://doi.org/10.1016/0167-2789(91)90140-5
Schöpf W., Zimmermann W. Multicritical behaviour in binary fluid convection // Europhys. Lett. 1989. Vol. 8, no. 1. P. 41-46. https://doi.org/10.1209/0295-5075/8/1/008">https://doi.org/10.1209/0295-5075/8/1/008
Schöpf W., Zimmermann W. Convection in binary fluids: Amplitude equations, codimension-2 bifurcation, and thermal fluctuations // Phys. Rev. E. 1993. Vol. 47, no. 3. P. 1739-1764. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.47.1739">https://doi.org/10.1103/PhysRevE.47.1739
Goldobin D.S., Shklyaeva E.V. Large-scale thermal convection in a horizontal porous layer // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 78, no. 2. 027301. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.78.027301">https://doi.org/10.1103/PhysRevE.78.027301
Matthews P.C., Cox S.M. One-dimensional pattern formation with Galilean invariance near a stationary bifurcation // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62, no. 2. R1473. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.62.R1473">https://doi.org/10.1103/PhysRevE.62.R1473
Matthews P.C., Cox S.M. Pattern formation with a conservation law // Nonlinearity. 2000. Vol. 13, no. 4. P. 1293-1320. https://doi.org/10.1088/0951-7715/13/4/317">https://doi.org/10.1088/0951-7715/13/4/317
Shklyaev S., Khenner M., Alabuzhev A.A. Oscillatory and monotonic modes of long-wave Marangoni convection in a thin film // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82, no. 2. 025302. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.82.025302">https://doi.org/10.1103/PhysRevE.82.025302
Samoilova A.E., Shklyaev S. Oscillatory Marangoni convection in a liquid-gas system heated from below // Eur. Phys. J. Spec. Top. 2015. Vol. 224, no. 2. P. 241-248. https://doi.org/10.1140/epjst/e2015-02356-4">https://doi.org/10.1140/epjst/e2015-02356-4
Straube A.V., Pikovsky A. Mixing-induced global modes in open active flow // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 99, no. 18. 184503. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.99.184503">https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.99.184503
Брацун Д.А., Мошева Е.А. Особенности формирования волн плотности в двухслойной системе смешивающихся реагирующих жидкостей // Вычисл. мех. сплош. сред. 2018. Т. 11, № 3. С. 302-322. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2018.11.3.23">https://doi.org/10.7242/1999-6691/2018.11.3.23
Циберкин К.Б. Двумерные течения в каналах ограниченной ширины, частично заполненных пористой средой // Вычисл. мех. сплош. сред. 2018. Т. 11, № 4. C. 438-447. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2018.11.4.34">https://doi.org/10.7242/1999-6691/2018.11.4.34
Goldobin D.S., Kovalevskaya K.V., Lyubimov D.V. Elastic and inelastic collisions of interfacial solitons and integrability of two-layer fluid system subject to horizontal vibrations // Europhys. Lett. 2014. Vol. 108. 54001. https://doi.org/10.1209/0295-5075/108/54001">https://doi.org/10.1209/0295-5075/108/54001
Goldobin D.S., Pimenova A.V., Kovalevskaya K.V., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P. Running interfacial waves in two-layer fluid system subject to longitudinal vibrations // Phys. Rev. E. 2015. Vol. 91, no. 5. 053010. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.91.053010">https://doi.org/10.1103/PhysRevE.91.053010
Пелиновский Е.Н., Шургалина Е.Г. Формирование волн-убийц в солитонном газе, описываемом модифицированным уравнением Кортевега-де Вриза // ДАН. 2016. Т. 470, № 1. С. 26-29. https://doi.org/10.7868/S0869565216250101">https://doi.org/10.7868/S0869565216250101
Пелиновский Е.Н., Диденкулова И.И., Шургалина Е.Г. Динамика волн в каналах переменного сечения // Морской гидрофизический журнал. 2017. № 3. С. 22-31. https://doi.org/10.22449/0233-7584-2017-3-22-31">https://doi.org/10.22449/0233-7584-2017-3-22-31
Шургалина Е.Г., Пелиновский Е.Н., Горшков К.А. Эффект отрицательной скорости частиц в солитонном газе в рамках уравнений типа Кортевега-де Вриза // Вестник Московского университета. Серия 3: Физика. Астрономия. 2017. № 5. С. 10-16. (English version https://doi.org/10.3103/S0027134917050101">https://doi.org/10.3103/S0027134917050101)
Слюняев А.В. Анализ нелинейного спектра интенсивного морского волнения с целью прогноза экстремальных волн // Изв. вузов. Радиофизика. 2018. Т. 61, № 1. С. 1-23. (English version https://doi.org/10.1007/s11141-018-9865-8">https://doi.org/10.1007/s11141-018-9865-8)
Goldobin D.S., Shklyaeva E.V. Localization and advectional spreading of convective flows under parametric disorder // J. Stat. Mech.: Theor. Exp. 2013. P09027. https://doi.org/10.1088/1742-5468/2013/09/P09027">https://doi.org/10.1088/1742-5468/2013/09/P09027
Goldobin D.S. Two scenarios of advective washing-out of localized convective patterns under frozen parametric disorder // Phys. Scr. 2019. Vol. 94. 014011. https://doi.org/10.1088/1402-4896/aaeefa">https://doi.org/10.1088/1402-4896/aaeefa
Goldobin D.S., Shklyaeva E.V. Diffusion of a passive scalar by convective flows under parametric disorder // J. Stat. Mech.: Theor. Exp. 2009. P01024. https://doi.org/10.1088/1742-5468/2009/01/P01024">https://doi.org/10.1088/1742-5468/2009/01/P01024
Goldobin D.S. Advectional enhancement of eddy diffusivity under parametric disorder // Phys. Scr. 2010. Vol. T142. 014050. https://doi.org/10.1088/0031-8949/2010/T142/014050">https://doi.org/10.1088/0031-8949/2010/T142/014050
Pikovsky A., Shepelyansky D. Destruction of Anderson localization by a weak nonlinearity // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100, no. 9. 094101. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.100.094101">https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.100.094101
Теймуразов А.С., Степанов Р.А., Verma M.K., Barman S., Kumar A., Shubhadeep S. Прямое численное моделирование однородной изотропной спиральной турбулентности в пакете ТARANG // Вычисл. мех. сплош. сред. 2017. Т. 10, № 4. С. 474-483. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2017.10.4.39">https://doi.org/10.7242/1999-6691/2017.10.4.39
Tyulkina I.V., Goldobin D.S., Klimenko L.S., Pikovsky A.S. Dynamics of noisy oscillator populations beyond the Ott-Antonsen ansatz // Phys. Rev. Lett. 2018. Vol. 120, no. 26. 264101. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.120.264101">https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.120.264101
Тюлькина И.В., Голдобин Д.С., Клименко Л.С., Пиковский А.С. Двухгрупповые решения для динамики ансамблей фазовых систем типа Отта-Антонсена // Изв. вузов. Радиофизика. 2018. Т. 61, № 8-9. С. 718-728. (English version https://doi.org/10.1007/s11141-019-09924-7">https://doi.org/10.1007/s11141-019-09924-7)
Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Разностные методы решения задач теплопроводности: учебное пособие. Томск: Изд-во ТПУ, 2007. 172 с.
Cox S.M., Matthews P.C. Exponential time differencing for stiff systems // J. Comput. Phys. 2002. Vol. 176, no. 2. P. 430-455. https://doi.org/10.1006/jcph.2002.6995">https://doi.org/10.1006/jcph.2002.6995
Hochbruck M., Ostermann A. Explicit exponential Runge-Kutta methods for semilinear parabolic problems // SIAM J. Numer. Anal. 2005. Vol. 43, no. 3. P. 1069-1090. https://doi.org/10.1137/040611434">https://doi.org/10.1137/040611434
Оволаби К.М. Математическое исследование систем с двумя переменными с использованием адаптивных численных методов // Сиб. журн. вычисл. матем. 2016. Т. 19, № 3. C. 281-295. https://doi.org/10.15372/SJNM20160304">https://doi.org/10.15372/SJNM20160304
Goldobin D.S. Relationships between the distribution of Watanabe-Strogatz variables and circular cumulants for ensembles of phase elements // Fluct. Noise Lett. 2019. Vol. 18, no. 2. 1940002. https://doi.org/10.1142/S0219477519400029">https://doi.org/10.1142/S0219477519400029
Goldobin D.S., Dolmatova A.V. Ott-Antonsen ansatz truncation of a circular cumulant series // Phys. Rev. Research. 2019. Vol. 1, no. 3, 033139. https://doi.org/10.1103/PhysRevResearch.1.033139">https://doi.org/10.1103/PhysRevResearch.1.033139
Gardiner C.W. Handbook of stochastic methods. Berlin: Springer, 1983.
Wilemski G. On the derivation of Smoluchowski equations with corrections in the classical theory of Brownian motion // J. Stat. Phys. 1976. Vol. 14, no. 2. P. 153-169. https://doi.org/10.1007/BF01011764">https://doi.org/10.1007/BF01011764
Gardiner C.W. Adiabatic elimination in stochastic systems. I. Formulation of methods and application to few-variable systems // Phys. Rev. A. 1984. Vol. 29, no. 5. P. 2814-2822. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.29.2814">https://doi.org/10.1103/PhysRevA.29.2814
Milster S., Nötel J., Sokolov I.M., Schimansky-Geier L. Eliminating inertia in a stochastic model of a micro-swimmer with constant speed // Eur. Phys. J. Spec. Top. 2017. Vol. 226, no. 9. P. 2039-2055. https://doi.org/10.1140/epjst/e2017-70052-8">https://doi.org/10.1140/epjst/e2017-70052-8
Murray J.D. Mathematical biology. Berlin: Springer, 1993. Chapter 11. https://doi.org/10.1007/978-3-662-08542-4">https://doi.org/10.1007/978-3-662-08542-4
Sibly R.M., Barker D., Denham M.C., Hone J., Pagel M. On the regulation of populations of mammals, birds, fish, and insects // Science. 2005. Vol. 309, no. 5734. P. 607-610. https://doi.org/10.1126/science.1110760">https://doi.org/10.1126/science.1110760
Doncaster C.P. Comment on "On the regulation of populations of mammals, birds, fish, and insects" III // Science. 2006. Vol. 311, no. 5764. P. 1100c. https://doi.org/10.1126/science.1122383">https://doi.org/10.1126/science.1122383
Anderson P.W. Absence of diffusion in certain random lattices // Phys. Rev. 1958. Vol. 109. P. 1492-1505. https://doi.org/10.1103/PhysRev.109.1492">https://doi.org/10.1103/PhysRev.109.1492
Мотт Н. Электроны в неупорядоченных структурах, пер. с англ. М.: Мир, 1969. 172 с. (English version https://doi.org/10.1080/00018736700101265">https://doi.org/10.1080/00018736700101265)
Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of a nonuniform system. I. Interfacial free energy // J. Chem. Phys. 1958. Vol. 28, no. 2. P. 258-267. https://doi.org/10.1063/1.1744102">https://doi.org/10.1063/1.1744102
